Завдання № 9. Вправи для повторення розділу 6 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
$ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$ — прямокутний паралелепіпед (мал. 1). Як розміщені площина $\alpha$ і пряма:

1) $AB$;

2) $A{A}_1$;

3) $BC$;

4) $B_1{C}_1$;

5) $C_{1}C$;

6) $A_1{D}_1$?

Покроковий розв’язок:

За малюнком площина $\alpha$ містить нижню основу прямокутного паралелепіпеда, тобто збігається з площиною $(ABC)$.

1. Розміщення прямої $AB$ і площини $\alpha$
Точки $A$ і $B$ належать основі паралелепіпеда, а отже, лежать у площині $\alpha$. За аксіомою стереометрії, якщо дві точки прямої належать площині, то і вся пряма належить цій площині:
$AB\subset \alpha$
Отже, пряма $AB$ лежить у площині $\alpha$.

2. Розміщення прямої $A{A}_1$ і площини $\alpha$
Пряма $A{A}_1$ містить бічне ребро прямокутного паралелепіпеда. Бічні ребра прямокутного паралелепіпеда перпендикулярні до площини його основи:
$A{A}_1\perp \alpha$
Пряма $A{A}_1$ перетинає площину $\alpha$ в точці $A$ під прямим кутом (перпендикулярна до неї).

3. Розміщення прямої $BC$ і площини $\alpha$
Точки $B$ і $C$ є вершинами основи паралелепіпеда та належать площині $\alpha$. Тому вся пряма належить площині:
$BC\subset \alpha$
Отже, пряма $BC$ лежить у площині $\alpha$.

4. Розміщення прямої $B_1{C}_1$ і площини $\alpha$
Протилежні ребра грані $B{B}_1{C}_{1}C$ паралельні: $B_1{C}_1\parallel BC$. Пряма $BC$ лежить у площині $\alpha$ ($BC\subset \alpha$), а пряма $B_1{C}_1$ не належить площині $\alpha$.
За ознакою паралельності прямої та площини (якщо пряма, яка не лежить у площині, паралельна деякій прямій цієї площини, то вона паралельна самій площині):
$B_1{C}_1\parallel \alpha$
Отже, пряма $B_1{C}_1$ паралельна площині $\alpha$.

5. Розміщення прямої $C_{1}C$ і площини $\alpha$
Відрізок $C_{1}C$ є бічним ребром прямокутного паралелепіпеда, тому пряма $C_{1}C$ перпендикулярна до площини основи:
$C_{1}C\perp \alpha$
Пряма $C_{1}C$ перетинає площину $\alpha$ в точці $C$ під прямим кутом (перпендикулярна до неї).

6. Розміщення прямої $A_1{D}_1$ і площини $\alpha$
У грані $A{A}_1{D}_{1}D$ протилежні ребра паралельні: $A_1{D}_1\parallel AD$. Оскільки пряма $AD$ лежить у площині $\alpha$ ($AD\subset \alpha$), а пряма $A_1{D}_1$ не належить їй, то за ознакою паралельності прямої та площини:
$A_1{D}_1\parallel \alpha$
Отже, пряма $A_1{D}_1$ паралельна площині $\alpha$.

Відповідь:

1) Пряма лежить у площині ($AB\subset \alpha$);

2) Пряма перпендикулярна до площини ($A{A}_1\perp \alpha$);

3) Пряма лежить у площині ($BC\subset \alpha$);

4) Пряма паралельна площині ($B_1{C}_1\parallel \alpha$);

5) Пряма перпендикулярна до площини ($C_{1}C\perp \alpha$);

6) Пряма паралельна площині ($A_1{D}_1\parallel \alpha$).