Завдання № 9. Вправи для повторення розділу 3 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Дві сторони трикутника дорівнюють $6\text{ см}$ і $14\text{ см}$, а кут проти більшої з них дорівнює $120^{\circ }$. Знайдіть периметр трикутника.

Покроковий розв’язок:

1. Геометрична модель та позначення
Розглянемо трикутник $△ABC$, у якому:

• сторона $AB=6\text{ см}$;
• сторона $AC=14\text{ см}$ — більша сторона, проти якої лежить кут $\angle B=120^{\circ }$;
• сторону $BC$ позначимо через $x\text{ см}$ ($x>0$).

2. Застосування теореми косинусів
За теоремою косинусів для сторони $AC$:
$A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos \angle B$

Враховуючи, що $\cos 120^{\circ }=-\cos (180^{\circ }-120^{\circ })=-\cos 60^{\circ }=-\frac{1}{2}$, підставимо числові дані:
$14^2=6^2+x^2-2\cdot 6\cdot x\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)$
$196=36+x^2+6\cdot x$
$x^2+6x+36-196=0$
$x^2+6x-160=0$

3. Знаходження довжини третьої сторони
Розв’яжемо отримане квадратне рівняння:
$D=6^2-4\cdot 1\cdot (-160)=36+640=676=26^2$
$x_1=\frac{-6+26}{2}=\frac{20}{2}=10$
$x_2=\frac{-6-26}{2}=\frac{-32}{2}=-16$

Оскільки довжина сторони трикутника є додатною величиною ($x>0$), від’ємний корінь $x=-16$ не відповідає умові.
Отже, $x=10$, тобто сторона $BC=10\text{ см}$.

4. Обчислення периметра трикутника
Периметр дорівнює сумі всіх трьох сторін трикутника $△ABC$:
$P=AB+BC+AC=6+10+14=30\text{ см}$

Відповідь:
$30\text{ см}$.