Завдання № 9. Вправи для повторення розділу 2 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
$ABC$ — прямокутний трикутник ($\angle C=90^{\circ }$), $\angle A=45^{\circ }$. Чи правильне твердження:

1) $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}$;

2) $|\overrightarrow{AC}|=|\overrightarrow{CB}|$;

3) $|\overrightarrow{AB}|>|\overrightarrow{AC}|$;

4) $|\overrightarrow{BC}|<|\overrightarrow{AB}|$?

Покроковий розв’язок:

Знайдемо градусну міру гострого кута $\angle B$ трикутника $ABC$:

Оскільки $\angle A=\angle B=45^{\circ }$, то за ознакою рівнобедреного трикутника $△ABC$ є прямокутним рівнобедреним із рівними катетами:

Сторона $AB$ лежить проти прямого кута $\angle C=90^{\circ }$, тому вона є гіпотенузою трикутника.

1. Перевірка твердження $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}$:
За означенням, два вектори називаються рівними, якщо вони мають однакову довжину (рівні модулі) та є співнапрямленими ($\overrightarrow{AC}\uparrow \uparrow \overrightarrow{CB}$).
Хоча модулі цих векторів рівні ($AC=CB$), прямі $AC$ і $CB$ взаємно перпендикулярні ($AC\perp CB$). Оскільки вони не паралельні та не лежать на одній прямій, вектори $\overrightarrow{AC}$ і $\overrightarrow{CB}$ не є колінеарними, а отже, не можуть бути співнапрямленими.
Тому твердження неправильне.

2. Перевірка твердження $|\overrightarrow{AC}|=|\overrightarrow{CB}|$:
Модуль вектора за означенням дорівнює довжині відповідного відрізка:

Оскільки $△ABC$ — рівнобедрений трикутник з основою $AB$, його катети рівні між собою ($AC=CB$).
Отже, $|\overrightarrow{AC}|=|\overrightarrow{CB}|$.
Твердження правильне.

3. Перевірка твердження $|\overrightarrow{AB}|>|\overrightarrow{AC}|$:
Модулями векторів є довжини сторін: $|\overrightarrow{AB}|=AB$ та $|\overrightarrow{AC}|=AC$.
У будь-якому прямокутному трикутнику гіпотенуза лежить навпроти найбільшого кута ($90^{\circ }$) і завжди є довшою за будь-який із катетів, тобто $AB>AC$.
Отже, $|\overrightarrow{AB}|>|\overrightarrow{AC}|$.
Твердження правильне.

4. Перевірка твердження $|\overrightarrow{BC}|<|\overrightarrow{AB}|$:
Модулями векторів є довжини сторін: $|\overrightarrow{BC}|=BC$ та $|\overrightarrow{AB}|=AB$.
Катет прямокутного трикутника завжди менший за гіпотенузу, тобто $BC<AB$.
Отже, $|\overrightarrow{BC}|<|\overrightarrow{AB}|$.
Твердження правильне.

Відповідь:

1) неправильне;

2) правильне;

3) правильне;

4) правильне.