Завдання № 9. Вправи для повторення розділу 1 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

Знайдіть геометричне місце точок координатної площини, для яких:

1) $(|x|-2)(|y|+1)=0$;

2) $(|x|-5)(|y|-1)=0$.

Покроковий розв’язок:

Добуток двох виразів дорівнює нулю тоді й лише тоді, коли принаймні один із множників дорівнює нулю, а інший при цьому має зміст.

1. Дослідження рівняння $(|x|-2)(|y|+1)=0$:

Прирівняємо кожен із множників до нуля:
$|x|-2=0\text{або}|y|+1=0$

Розглянемо кожен випадок:

• 3 першого рівняння: $|x|=2$, звідки отримуємо два розв’язки:
  $x=2\text{або}x=-2$
  Цим рівностям задовольняють усі точки координатної площини, абсциса яких дорівнює $2$ або $-2$, а ордината $y$ може бути будь-яким дійсним числом. Геометрично це дві прямі, паралельні осі ординат.
• 3 другого рівняння: $|y|=-1$. Оскільки абсолютна величина (модуль) будь-якого дійсного числа є невід’ємною ($|y|\ge 0$), рівняння $|y|=-1$ не має розв’язків.

Отже, геометричним місцем точок є об’єднання двох вертикальних прямих $x=-2$ та $x=2$.

2. Дослідження рівняння $(|x|-5)(|y|-1)=0$:

Прирівняємо кожен множник до нуля:
$|x|-5=0\text{або}|y|-1=0$

Розв’яжемо кожне рівняння окремо:

• 3 першого рівняння: $|x|=5$, отже:
  $x=5\text{або}x=-5$
  Цим рівностям відповідають дві прямі, паралельні осі $Oy$, що проходять через точки $(-5;0)$ та $(5;0)$.
• 3 другого рівняння: $|y|=1$, отже:
  $y=1\text{або}y=-1$
  Цим рівностям відповідають дві прямі, паралельні осі $Ox$, що проходять через точки $(0;-1)$ та $(0;1)$.

Геометричним місцем точок є об’єднання чотирьох прямих: двох вертикальних ($x=-5$ і $x=5$) та двох горизонтальних ($y=-1$ і $y=1$).

Відповідь:

1) Дві прямі $x=-2$ та $x=2$ (прямі, паралельні осі ординат).

2) Чотири прямі $x=-5$, $x=5$, $y=-1$ та $y=1$.