Завдання № 9. Повторюємо геометрію за 8 клас (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

$ABCD$ — прямокутник. Знайдіть:

1) $\angle 7$, якщо $\angle 4=50^{\circ }$;

2) $\angle 6$, якщо $\angle 11=120^{\circ }$;

3) $\angle 12$, якщо $\angle 5=46^{\circ }$.

Покроковий розв’язок:

Нехай точка $O$ — точка перетину діагоналей $AC$ і $BD$ прямокутника $ABCD$.
За властивістю прямокутника:

• Усі кути прямокутника прямі: $\angle A=\angle B=\angle C=\angle D=90^{\circ }$;
• Протилежні сторони попарно паралельні: $AB\parallel CD$, $BC\parallel AD$;
• Діагоналі рівні ($AC=BD$) і точкою перетину діляться навпіл: $AO=BO=CO=DO$.

1. Знаходження $\angle 7$ при $\angle 4=50^{\circ }$:
Розглянемо прямокутний трикутник $BCD$ ($\angle C=90^{\circ }$).
Оскільки сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює $90^{\circ }$, маємо:

Звідси знаходимо величину кута $\angle 7$:

(Інший спосіб: $AB\parallel CD$, тому $\angle 8=\angle 4=50^{\circ }$ як внутрішні різносторонні кути при січній $BD$. Тоді $\angle 7=90^{\circ }-\angle 8=90^{\circ }-50^{\circ }=40^{\circ }$).

2. Знаходження $\angle 6$ при $\angle 11=120^{\circ }$:
Розглянемо $△BCO$.
Оскільки діагоналі прямокутника рівні й діляться точкою перетину навпіл, то $BO=CO$.
Отже, $△BCO$ — рівнобедрений з основою $BC$. За властивістю кутів при основі рівнобедреного трикутника:

Сума кутів у трикутнику дорівнює $180^{\circ }$:

Підставимо $\angle 7=\angle 6$ та значення $\angle 11=120^{\circ }$:

3. Знаходження $\angle 12$ при $\angle 5=46^{\circ }$:
Розглянемо $△COD$.
Оскільки $CO=DO$, трикутник $COD$ є рівнобедреним з основою $CD$. Отже, кути при основі рівні:

Знайдемо кут $\angle 10$ із $△COD$:

Кути $\angle 12$ та $\angle 10$ є вертикальними при перетині прямих $AC$ і $BD$. За властивістю вертикальних кутів:

Відповідь:

1) $\angle 7=40^{\circ }$;

2) $\angle 6=30^{\circ }$;

3) $\angle 12=88^{\circ }$.