Завдання № 9. Домашня самостійна робота 2 (§§6–10) (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Дано вектори $a (- 2; 0)$ і $b (3; - 3)$ . Знайдіть кут між цими векторами $∠ (a, b)$ .
А. $4 5^{\circ}$
Б. $6 0^{\circ}$
В. $12 0^{\circ}$
Г. $13 5^{\circ}$

Покроковий розв’язок:

Кут $φ$ між двома векторами $a (x_{1}; y_{1})$ і $b (x_{2}; y_{2})$ можна знайти за формулою косинуса кута через їхній скалярний добуток та довжини:

cos φ = \frac{a \cdot b}{∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣} = \frac{x _{1} \cdot x _{2} + y _{1} \cdot y _{2}}{x _{1}^{2} + y _{1}^{2} \cdot x _{2}^{2} + y _{2}^{2}}

1. Обчислення скалярного добутку векторів:

a \cdot b = (- 2) \cdot 3 + 0 \cdot (- 3) = - 6 + 0 = - 6

2. Обчислення модулів (довжин) векторів:

Довжина вектора $a$ :

∣ a ∣ = (- 2)^{2} + 0^{2} = 4 + 0 = 2

Довжина вектора $b$ :

∣ b ∣ = 3^{2} + (- 3)^{2} = 9 + 9 = 18 = 32

3. Знаходження косинуса шуканого кута:

cos φ = \frac{- 6}{2 \cdot 3 2} = \frac{- 6}{6 2} = - \frac{1}{2} = - \frac{2}{2}

4. Визначення градусної міри кута:
Кут між векторами лежить у межах від $0^{\circ}$ до $18 0^{\circ}$ . Оскільки значення косинуса від’ємне ( $cos φ = - \frac{2}{2}$ ), шуканий кут є тупим:

φ = 18 0^{\circ} - 4 5^{\circ} = 13 5^{\circ}

Зобразимо дані вектори та кут між ними на координатній площині:

Отже, $∠ (a, b) = 13 5^{\circ}$ , що відповідає варіанту Г.

Відповідь: Г. $13 5^{\circ}$

Завдання № 9. Домашня самостійна робота 2 (§§6–10) (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку