Завдання № 9.8. § 9. Множення вектора на число (Геометрія 9 клас Істер)

Умова:

Дано вектори $m (- 1; 2)$ і $n (3; 1)$ . Знайдіть координати вектора:

1) $a = 3 m + n$

2) $b = m - 2 n$

3) $c = 2 m + 5 n$

4) $d = 5 m - 3 n$

Покроковий розв’язок:

Для знаходження координат лінійної комбінації векторів скористаємося основними правилами дій над векторами в координатній формі:

при множенні вектора на число кожна його координата множиться на це число: якщо $v (x; y)$ , то $k v = (k \cdot x; k \cdot y)$ ;
при додаванні (відніманні) двох векторів додаються (віднімаються) їхні відповідні координати: якщо $u (x_{1}; y_{1})$ та $v (x_{2}; y_{2})$ , то $u \pm v = (x_{1} \pm x_{2}; y_{1} \pm y_{2})$ .

1. Знаходження координат вектора $a = 3 m + n$

Знайдемо координати вектора $3 m$ :
$3 m = 3 \cdot (- 1; 2) = (3 \cdot (- 1); 3 \cdot 2) = (- 3; 6)$

Додамо координати вектора $n (3; 1)$ :
$a = (- 3 + 3; 6 + 1) = (0; 7)$

2. Знаходження координат вектора $b = m - 2 n$

Знайдемо координати вектора $2 n$ :
$2 n = 2 \cdot (3; 1) = (2 \cdot 3; 2 \cdot 1) = (6; 2)$

Віднімемо від координат вектора $m (- 1; 2)$ координати вектора $2 n (6; 2)$ :
$b = (- 1 - 6; 2 - 2) = (- 7; 0)$

3. Знаходження координат вектора $c = 2 m + 5 n$

Обчислимо координати векторів $2 m$ та $5 n$ :
$2 m = 2 \cdot (- 1; 2) = (- 2; 4)$
$5 n = 5 \cdot (3; 1) = (15; 5)$

Знайдемо суму векторів $2 m$ і $5 n$ :
$c = (- 2 + 15; 4 + 5) = (13; 9)$

4. Знаходження координат вектора $d = 5 m - 3 n$

Обчислимо координати векторів $5 m$ та $3 n$ :
$5 m = 5 \cdot (- 1; 2) = (- 5; 10)$
$3 n = 3 \cdot (3; 1) = (9; 3)$

Знайдемо різницю векторів $5 m$ і $3 n$ :
$d = (- 5 - 9; 10 - 3) = (- 14; 7)$

Відповідь:

1) $a (0; 7)$ ;

2) $b (- 7; 0)$ ;

3) $c (13; 9)$ ;

4) $d (- 14; 7)$ .