Завдання № 9.7. § 9. Множення вектора на число (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

На малюнку $KL$ — середня лінія трикутника $ABC$. Виразіть:

1) $\overrightarrow{AC}$ через $\overrightarrow{KL}$;

2) $\overrightarrow{KL}$ через $\overrightarrow{AC}$.

Покроковий розв’язок:

1. Аналіз геометричних властивостей
За теоремою про середню лінію трикутника:

• середня лінія паралельна стороні трикутника: $KL\parallel AC$;
• довжина середньої лінії дорівнює половині довжини цієї сторони:
  $KL=\frac{1}{2}AC\text{, звідки }AC=2\cdot KL$

Оскільки довжина відрізка дорівнює модулю відповідного вектора, маємо:
$|\overrightarrow{AC}|=2\cdot |\overrightarrow{KL}|$
$|\overrightarrow{KL}|=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AC}|$

2. Порівняння напрямків векторів
За малюнком відрізки лежать на паралельних прямих ($KL\parallel AC$), а стрілки спрямовані в один бік (зліва направо). Отже, вектори $\overrightarrow{KL}$ та $\overrightarrow{AC}$ є співнапрямленими:
$\overrightarrow{KL}\uparrow \uparrow \overrightarrow{AC}$

Якщо вектори співнапрямлені, то коефіцієнт пропорційності між ними є додатним:

1) Оскільки $|\overrightarrow{AC}|=2\cdot |\overrightarrow{KL}|$ та $\overrightarrow{AC}\uparrow \uparrow \overrightarrow{KL}$, отримуємо:
$\overrightarrow{AC}=2\cdot \overrightarrow{KL}$

2) Оскільки $|\overrightarrow{KL}|=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AC}|$ та $\overrightarrow{KL}\uparrow \uparrow \overrightarrow{AC}$, отримуємо:
$\overrightarrow{KL}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$

Відповідь:

1) $\overrightarrow{AC}=2\cdot \overrightarrow{KL}$;

2) $\overrightarrow{KL}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$.