Завдання № 9.6. § 9. Множення вектора на число (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Накресліть вектор $\vec{a}$. Побудуйте вектор:

1) $3\vec{a}$;

2) $-\vec{a}$;

3) $-\frac{1}{2}\vec{a}$;

4) $2\vec{a}$;

5) $-3,5\vec{a}$;

6) $1,5\vec{a}$.

Покроковий розв’язок:

За означенням добутку ненульового вектора $\vec{a}$ на число $k\ne 0$:

1) Довжина утвореного вектора $k\vec{a}$ дорівнює $|k|\cdot |\vec{a}|$.

2) Якщо коефіцієнт $k>0$, то вектор $k\vec{a}$ співнапрямлений із вектором $\vec{a}$ ($k\vec{a}\uparrow \uparrow \vec{a}$).

3) Якщо коефіцієнт $k<0$, то вектор $k\vec{a}$ напрямлений протилежно до вектора $\vec{a}$ ($k\vec{a}\uparrow \downarrow \vec{a}$).

Нехай задано довільний горизонтальний вектор $\vec{a}$, спрямований праворуч, довжиною $|\vec{a}|=1\text{ од.}$ (наприклад, $1\text{ см}$ або $2\text{ клітинки зошита}$).

1. Побудова вектора $3\vec{a}$
Оскільки $k=3>0$, вектор $3\vec{a}$ співнапрямлений із вектором $\vec{a}$ ($3\vec{a}\uparrow \uparrow \vec{a}$). Його довжина становить:
$|3\vec{a}|=|3|\cdot |\vec{a}|=3\cdot |\vec{a}|$
Будуємо вектор, спрямований праворуч, довжина якого в $3$ рази більша за довжину $\vec{a}$.

2. Побудова вектора $-\vec{a}$
Тут $k=-1<0$, тому вектор $-\vec{a}$ є протилежним до вектора $\vec{a}$ ($-\vec{a}\uparrow \downarrow \vec{a}$). Його довжина дорівнює:
$|-\vec{a}|=|-1|\cdot |\vec{a}|=|\vec{a}|$
Будуємо вектор тієї самої довжини, але спрямований у протилежний бік (ліворуч).

3. Побудова вектора $-\frac{1}{2}\vec{a}$
Оскільки $k=-\frac{1}{2}<0$, вектор напрямлений протилежно до $\vec{a}$ ($-\frac{1}{2}\vec{a}\uparrow \downarrow \vec{a}$). Його довжина становить:
$\left|-\frac{1}{2}\vec{a}\right|=\left|-\frac{1}{2}\right|\cdot |\vec{a}|=\frac{1}{2}\cdot |\vec{a}|=0,5\cdot |\vec{a}|$
Будуємо вектор, спрямований ліворуч, удвічі коротший за вектор $\vec{a}$.

4. Побудова вектора $2\vec{a}$
Оскільки $k=2>0$, вектор співнапрямлений із вектором $\vec{a}$ ($2\vec{a}\uparrow \uparrow \vec{a}$). Його довжина:
$|2\vec{a}|=|2|\cdot |\vec{a}|=2\cdot |\vec{a}|$
Будуємо вектор, спрямований праворуч, у $2$ рази довший за $\vec{a}$.

5. Побудова вектора $-3,5\vec{a}$
Оскільки $k=-3,5<0$, вектор протилежно напрямлений до $\vec{a}$ ($-3,5\vec{a}\uparrow \downarrow \vec{a}$). Його довжина становить:
$|-3,5\vec{a}|=|-3,5|\cdot |\vec{a}|=3,5\cdot |\vec{a}|$
Будуємо вектор, спрямований ліворуч, довжина якого в $3,5$ раза більша за довжину $\vec{a}$.

6. Побудова вектора $1,5\vec{a}$
Оскільки $k=1,5>0$, вектор співнапрямлений із вектором $\vec{a}$ ($1,5\vec{a}\uparrow \uparrow \vec{a}$). Його довжина:
$|1,5\vec{a}|=|1,5|\cdot |\vec{a}|=1,5\cdot |\vec{a}|$
Будуємо вектор, спрямований праворуч, довжина якого в $1,5$ раза більша за довжину $\vec{a}$.

Відповідь:
Побудовано шукані вектори:

1) $3\vec{a}\uparrow \uparrow \vec{a}$, довжина $|3\vec{a}|=3\cdot |\vec{a}|$;

2) $-\vec{a}\uparrow \downarrow \vec{a}$, довжина $|-\vec{a}|=|\vec{a}|$;

3) $-\frac{1}{2}\vec{a}\uparrow \downarrow \vec{a}$, довжина $\left|-\frac{1}{2}\vec{a}\right|=0,5\cdot |\vec{a}|$;

4) $2\vec{a}\uparrow \uparrow \vec{a}$, довжина $|2\vec{a}|=2\cdot |\vec{a}|$;

5) $-3,5\vec{a}\uparrow \downarrow \vec{a}$, довжина $|-3,5\vec{a}|=3,5\cdot |\vec{a}|$;

6) $1,5\vec{a}\uparrow \uparrow \vec{a}$, довжина $|1,5\vec{a}|=1,5\cdot |\vec{a}|$.