Завдання № 9.37. § 9. Множення вектора на число (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

До катетів прямокутного трикутника провели медіани завдовжки $3\text{ см}$ і $4\text{ см}$. Знайдіть гіпотенузу трикутника.

Покроковий розв’язок:

1. Введення позначень

Нехай задано прямокутний трикутник $△ABC$, у якого $\angle C=90^{\circ }$.
Позначимо довжини його катетів:
$BC=a,AC=b$

Оскільки відрізки $AK$ та $BM$ є медіанами, проведеними до катетів $BC$ та $AC$ відповідно, то точки $K$ і $M$ — середини цих сторін:
$CK=KB=\frac{a}{2},CM=MA=\frac{b}{2}$

За умовою довжини медіан дорівнюють $AK=3\text{ см}$ і $BM=4\text{ см}$.

2. Застосування теореми Піфагора до трикутників із медіанами

Розглянемо прямокутний трикутник $△ACK$ ($\angle C=90^{\circ }$). За теоремою Піфагора:
$A{K}^2=A{C}^2+C{K}^2$
$b^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2=3^2$
$b^2+\frac{a^2}{4}=9\text{(1)}$

Розглянемо прямокутний трикутник $△BCM$ ($\angle C=90^{\circ }$). За теоремою Піфагора:
$B{M}^2=B{C}^2+C{M}^2$
$a^2+{\left(\frac{b}{2}\right)}^2=4^2$
$a^2+\frac{b^2}{4}=16\text{(2)}$

3. Знаходження гіпотенузи трикутника

Додамо почленно рівняння $(1)$ та $(2)$:
$\left(b^2+\frac{a^2}{4}\right)+\left(a^2+\frac{b^2}{4}\right)=9+16$
$\frac{5}{4}{a}^2+\frac{5}{4}{b}^2=25$

Винесемо спільний множник $\frac{5}{4}$ за дужки:
$\frac{5}{4}\left(a^2+b^2\right)=25$

За теоремою Піфагора для початкового трикутника $△ABC$ сума квадратів катетів дорівнює квадрату гіпотенузи:
$A{B}^2=a^2+b^2$

Тоді отримаємо:
$\frac{5}{4}\cdot A{B}^2=25$
$A{B}^2=25\cdot \frac{4}{5}$
$A{B}^2=20$
$AB=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\text{ см}$

Відповідь: $2\sqrt{5}\text{ см}$