Завдання № 9.32. § 9. Множення вектора на число (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
На колі $x^2+y^2=1$ знайдіть таку точку $A$, щоб вектор $\overrightarrow{OA}$, де $O$ — початок координат, був співнапрямлений з вектором $\vec{c}(3;-4)$.

Покроковий розв’язок:

1. Зв’язок координат точки та вектора
Нехай шукана точка має координати $A(x;y)$. Оскільки точка $O(0;0)$ є початком координат, радіус-вектор $\overrightarrow{OA}$ має такі самі координати, як і точка $A$:

2. Умова співнапрямленості векторів
За означенням, два вектори $\overrightarrow{OA}$ та $\vec{c}$ є співнапрямленими ($\overrightarrow{OA}\uparrow \uparrow \vec{c}$), якщо існує таке додатне дійсне число $k>0$, що:

Звідси координати вектора $\overrightarrow{OA}$ виражаються через координати вектора $\vec{c}(3;-4)$:

3. Знаходження коефіцієнта пропорційності
Точка $A(x;y)$ належить колу $x^2+y^2=1$. Це також означає, що довжина вектора $\overrightarrow{OA}$ дорівнює радіусу кола, тобто $|\overrightarrow{OA}|=1$.

Підставимо вирази для $x$ та $y$ у рівняння кола:

Оскільки вектори співнапрямлені, коефіцієнт пропорційності має бути строго додатним ($k>0$):

4. Обчислення координат точки $A$
Підставимо знайдене значення $k=\frac{1}{5}$ у вирази для координат точки $A$:

Отже, шукана точка має координати $A\left(\frac{3}{5};-\frac{4}{5}\right)$.

Відповідь: $A\left(\frac{3}{5};-\frac{4}{5}\right)$.