Завдання № 9.31. § 9. Множення вектора на число (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Доведіть, що точки $A(5;-1)$, $B(6;2)$ і $C(8;8)$ лежать на одній прямій.

Покроковий розв’язок:

Для того щоб довести, що три точки лежать на одній прямій, можна скористатися властивістю розміщення точок на прямій: якщо для трьох точок $A$, $B$ і $C$ сума довжин двох менших відрізків дорівнює довжині найбільшого відрізка (наприклад, $AB+BC=AC$), то точка $B$ лежить між точками $A$ і $C$, а отже, всі три точки належать одній прямій.

1. Обчислення довжин відрізків

Знайдемо відстані між кожною парою точок за формулою відстані між двома точками з відомими координатами $d=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$:

• Довжина відрізка $AB$:
  $AB=\sqrt{(6-5{)}^2+(2-(-1){)}^2}=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}$

• Довжина відрізка $BC$:
  $BC=\sqrt{(8-6{)}^2+(8-2{)}^2}=\sqrt{2^2+6^2}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}=\sqrt{4\cdot 10}=2\sqrt{10}$

• Довжина відрізка $AC$:
  $AC=\sqrt{(8-5{)}^2+(8-(-1){)}^2}=\sqrt{3^2+9^2}=\sqrt{9+81}=\sqrt{90}=\sqrt{9\cdot 10}=3\sqrt{10}$

2. Перевірка рівності для довжин відрізків

Порівняємо суму довжин менших відрізків $AB$ і $BC$ із довжиною відрізка $AC$:
$AB+BC=\sqrt{10}+2\sqrt{10}=3\sqrt{10}$

Оскільки $AB+BC=AC$ ($3\sqrt{10}=3\sqrt{10}$), то точка $B$ лежить між точками $A$ і $C$ на відрізку $AC$. Це безпосередньо доводить, що точки $A$, $B$ і $C$ лежать на одній прямій.

3. Альтернативне доведення через вектори

Знайдемо координати векторів $\overrightarrow{AB}$ та $\overrightarrow{AC}$:
$\overrightarrow{AB}=(6-5;2-(-1))=(1;3)$
$\overrightarrow{AC}=(8-5;8-(-1))=(3;9)$

Перевіримо умову колінеарності векторів:
$\frac{3}{1}=\frac{9}{3}=3$

Отже, $\overrightarrow{AC}=3\cdot \overrightarrow{AB}$, тобто вектори $\overrightarrow{AB}$ і $\overrightarrow{AC}$ є колінеарними (співнапрямленими: $\overrightarrow{AB}\uparrow \uparrow \overrightarrow{AC}$). Оскільки вони виходять зі спільної точки $A$, точки $A$, $B$ і $C$ обов’язково належать одній прямій.

Відповідь:
Доведено: оскільки $AB+BC=AC$ ($3\sqrt{10}=\sqrt{10}+2\sqrt{10}$), точка $B$ лежить між точками $A$ і $C$, тобто точки $A$, $B$ і $C$ лежать на одній прямій.