Завдання № 9.30. § 9. Множення вектора на число (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Доведіть, що чотирикутник із вершинами в точках $A(-1;4)$, $B(5;7)$, $C(5;2)$ і $D(-3;-2)$ є трапецією.

Покроковий розв’язок:
За означенням, трапецією називають чотирикутник, у якого дві сторони паралельні (основи), а дві інші — непаралельні (бічні сторони).

Для доведення паралельності або непаралельності сторін чотирикутника скористаємося властивостями векторів: ненульові вектори колінеарні тоді й лише тоді, коли їхні відповідні координати пропорційні.

1. Дослідження сторін $AB$ і $CD$

Знайдемо координати векторів $\overrightarrow{AB}$ та $\overrightarrow{DC}$:

Перевіримо колінеарність векторів $\overrightarrow{AB}$ та $\overrightarrow{DC}$. Для цього порівняємо відношення їхніх відповідних координат:

Оскільки координати пропорційні:

вектори $\overrightarrow{AB}$ та $\overrightarrow{DC}$ є колінеарними, отже, сторони $AB$ і $CD$ паралельні:

Зауважимо також, що $|\overrightarrow{AB}|\ne |\overrightarrow{DC}|$, тобто відрізки мають різну довжину ($AB\ne CD$), отже, чотирикутник не є паралелограмом.

2. Дослідження сторін $BC$ і $AD$

Знайдемо координати векторів $\overrightarrow{BC}$ та $\overrightarrow{AD}$:

Вектор $\overrightarrow{BC}$ має абсцису, що дорівнює $0$, тоді як абсциса вектора $\overrightarrow{AD}$ дорівнює $-2\ne 0$. Звідси випливає, що вектор $\overrightarrow{BC}$ паралельний осі ординат ($Oy$), а вектор $\overrightarrow{AD}$ не є паралельним осі ординат.

Отже, вектори $\overrightarrow{BC}$ та $\overrightarrow{AD}$ не є колінеарними, звідки:

Висновок:
Оскільки у чотирикутника $ABCD$ дві протилежні сторони паралельні ($AB\parallel CD$), а дві інші — непаралельні ($BC\nparallel AD$), то за означенням чотирикутник $ABCD$ є трапецією з основами $AB$ та $CD$. Доведено.

Відповідь:
Доведено, що чотирикутник $ABCD$ є трапецією з основами $AB$ і $CD$.