Завдання № 9.28. § 9. Множення вектора на число (Геометрія 9 клас Істер)

Умова:
Знайдіть координати вектора $a$ , колінеарного вектору $b (- 8; 6)$ , якщо $∣ a ∣ = 5$ .

Покроковий розв’язок:

1. Використання умови колінеарності векторів
За означенням колінеарності, два ненульові вектори колінеарні тоді й лише тоді, коли їхні відповідні координати пропорційні. Тобто існує таке дійсне число $k \neq = 0$ , що:

a = k \cdot b

Оскільки вектор $b$ має координати $(- 8; 6)$ , то координати вектора $a$ можна подати у вигляді:

a (- 8 k; 6 k)

2. Обчислення коефіцієнта пропорційності
Модуль (довжина) вектора $a (x; y)$ обчислюється за формулою:

∣ a ∣ = x^{2} + y^{2}

Підставимо координати вектора $a$ :

∣ a ∣ = (- 8 k)^{2} + (6 k)^{2} = 64 k^{2} + 36 k^{2} = 100 k^{2} = 10∣ k ∣

За умовою задачі модуль вектора дорівнює $5$ :

10∣ k ∣ = 5

∣ k ∣ = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}

Звідси отримуємо два можливих значення для $k$ :

k_{1} = \frac{1}{2} або k_{2} = - \frac{1}{2}

3. Знаходження координат вектора
Розглянемо обидва випадки:

1) Якщо $k = \frac{1}{2}$ , вектори $a$ та $b$ є співнапрямленими ( $a ↑↑ b$ ):

a (- 8 \cdot \frac{1}{2}; 6 \cdot \frac{1}{2}) ⟹ a (- 4; 3)

2) Якщо $k = - \frac{1}{2}$ , вектори $a$ та $b$ є протилежно напрямленими ( $a ↑↓ b$ ):

a (- 8 \cdot (- \frac{1}{2}); 6 \cdot (- \frac{1}{2})) ⟹ a (4; - 3)

Обидва знайдені вектори задовольняють умову колінеарності та мають довжину:

(\pm 4)^{2} + (\mp 3)^{2} = 16 + 9 = 25 = 5

4. Геометрична інтерпретація розв’язку

x
y
O

b(-8; 6)

a₁(-4; 3)

a₂(4; -3)

Відповідь:
$(- 4; 3)$ або $(4; - 3)$ .

Завдання № 9.28. § 9. Множення вектора на число (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку