Завдання № 9.27. § 9. Множення вектора на число (Геометрія 9 клас Істер)

Умова:

Точки $M$ і $N$ — середини сторін $A B$ і $B C$ трапеції $A B C D$ (мал. 9.8). Доведіть, що:
$M N = \frac{1}{2} (D C - D A)$

Креслення до завдання 9.27

Покроковий розв’язок:

1. Вираження вектора $M N$ через вектор $A C$
Розглянемо трикутник $A B C$ . Точка $M$ — середина сторони $A B$ , а точка $N$ — середина сторони $B C$ .
За означенням, відрізок $M N$ є середньою лінією $△ A B C$ .

За властивістю середньої лінії трикутника:

$M N ∥ A C$ ;
довжина відрізка $M N$ дорівнює половині довжини основи: $M N = \frac{1}{2} A C$ .

Оскільки напрямок вектора $M N$ збігається з напрямком вектора $A C$ , ці вектори є співнапрямленими ( $M N ↑↑ A C$ ). Отже, маємо рівність:
$M N = \frac{1}{2} A C$

2. Вираження вектора $A C$ через різницю векторів
Розглянемо трикутник $A C D$ . Вектори $D C$ і $D A$ відкладено від однієї спільної точки $D$ .

За правилом віднімання векторів різницею двох векторів зі спільним початком є вектор, що сполучає їхні кінці (напрямлений від зменшуваного до від’ємника):
$A C = D C - D A$

Також цей факт випливає з правила додавання векторів за правилом трикутника:
$D A + A C = D C ⟹ A C = D C - D A$

3. Підстановка та завершення доведення
Підставимо отриманий вираз для вектора $A C$ у векторну рівність для середньої лінії $M N$ :
$M N = \frac{1}{2} A C = \frac{1}{2} (D C - D A)$

Твердження повністю доведено.

Відповідь:
Доведено, що $M N = \frac{1}{2} (D C - D A)$ .

Завдання № 9.27. § 9. Множення вектора на число (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку