Завдання № 9.25. § 9. Множення вектора на число (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
За якого значення $t$ вектори $\overrightarrow{c}(t;4)$ і $\overrightarrow{d}(1;t)$ співнапрямлені?

Покроковий розв’язок:

1. Умова колінеарності векторів
Два ненульові вектори є колінеарними тоді й лише тоді, коли їхні відповідні координати пропорційні.

Для векторів $\overrightarrow{c}(x_1;y_1)$ та $\overrightarrow{d}(x_2;y_2)$ запишемо умову пропорційності координат:
$\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_1}{y_2}=k$
де $k$ — коефіцієнт пропорційності ($\overrightarrow{c}=k\cdot \overrightarrow{d}$).

Підставимо координати заданих векторів $\overrightarrow{c}(t;4)$ та $\overrightarrow{d}(1;t)$:
$\frac{t}{1}=\frac{4}{t}$

2. Знаходження значень параметра $t$
За основною властивістю пропорції маємо:
$t\cdot t=4\cdot 1$
$t^2=4$
$t=2\text{або}t=-2$

3. Перевірка умови співнапрямленості
Вектори $\overrightarrow{c}$ і $\overrightarrow{d}$ є співнапрямленими ($\overrightarrow{c}\uparrow \uparrow \overrightarrow{d}$), якщо коефіцієнт пропорційності $k>0$, та протилежно напрямленими ($\overrightarrow{c}\uparrow \downarrow \overrightarrow{d}$), якщо $k<0$.

Перевіримо обидва знайдені значення:

1) Якщо $t=2$:
Координати векторів дорівнюють $\overrightarrow{c}(2;4)$ і $\overrightarrow{d}(1;2)$.
Звідси:
$\overrightarrow{c}=2\cdot \overrightarrow{d}$
Оскільки коефіцієнт пропорційності $k=2>0$, то вектори мають однаковий напрямок: $\overrightarrow{c}\uparrow \uparrow \overrightarrow{d}$. Отже, значення $t=2$ задовольняє умову задачі.

2) Якщо $t=-2$:
Координати векторів дорівнюють $\overrightarrow{c}(-2;4)$ і $\overrightarrow{d}(1;-2)$.
Звідси:
$\overrightarrow{c}=-2\cdot \overrightarrow{d}$
Оскільки коефіцієнт пропорційності $k=-2<0$, то вектори спрямовані у протилежні боки: $\overrightarrow{c}\uparrow \downarrow \overrightarrow{d}$. Це значення не підходить.

Відповідь:
$t=2$