Завдання № 9.23. § 9. Множення вектора на число (Геометрія 9 клас Істер)

Умова:
За якого значення $n$ колінеарні вектори:

1) $a (1; n)$ і $b (- 4; 8)$ ;

2) $c (12; 9)$ і $d (n; 3)$ ?

Співнапрямлені чи протилежно напрямлені ці вектори?

Покроковий розв’язок:

Два ненульових вектори $u (x_{1}; y_{1})$ та $v (x_{2}; y_{2})$ є колінеарними тоді й лише тоді, коли їхні відповідні координати пропорційні, тобто існує таке число $k$ , що:

v = k \cdot u або \frac{x _{1}}{x _{2}} = \frac{y _{1}}{y _{2}} = \frac{1}{k}

При цьому:

якщо коефіцієнт пропорційності $k > 0$ , то вектори є співнапрямленими ( $u ↑↑ v$ );
якщо коефіцієнт пропорційності $k < 0$ , то вектори є протилежно напрямленими ( $u ↑↓ v$ ).

1. Дослідження векторів $a (1; n)$ і $b (- 4; 8)$

Складемо пропорцію для відповідних координат:

\frac{1}{- 4} = \frac{n}{8}

За основною властивістю пропорції знайдемо $n$ :

n = \frac{1 \cdot 8}{- 4} = - 2

Знайдемо коефіцієнт зв’язку між векторами: $b = k \cdot a$ . Оскільки $- 4 = k \cdot 1$ , маємо $k = - 4$ (або $a = - 0, 25 \cdot b$ ).

Оскільки коефіцієнт пропорційності від’ємний ( $k < 0$ ), вектори $a$ і $b$ є протилежно напрямленими: $a ↑↓ b$ .

2. Дослідження векторів $c (12; 9)$ і $d (n; 3)$

Складемо пропорцію для відповідних координат:

\frac{12}{n} = \frac{9}{3}

Оскільки $\frac{9}{3} = 3$ , отримуємо:

\frac{12}{n} = 3 ⟹ n = \frac{12}{3} = 4

Знайдемо коефіцієнт зв’язку між векторами: $c = k \cdot d$ . Оскільки $12 = k \cdot 4$ , маємо $k = 3 > 0$ (вектор $c$ у $3$ рази довший за вектор $d$ та має однаковий з ним напрямок).

Оскільки коефіцієнт пропорційності додатний ( $k > 0$ ), вектори $c$ і $d$ є співнапрямленими: $c ↑↑ d$ .

Відповідь:

1) $n = - 2$ , вектори протилежно напрямлені ( $a ↑↓ b$ );

2) $n = 4$ , вектори співнапрямлені ( $c ↑↑ d$ ).

Завдання № 9.23. § 9. Множення вектора на число (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку