Завдання № 9.22. § 9. Множення вектора на число (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
За якого значення $m$ колінеарні вектори:

1) $\overrightarrow{a}(-4;5)$ і $\overrightarrow{b}(-12;m)$;

2) $\overrightarrow{c}(m;-1)$ і $\overrightarrow{d}(-4;2)$?

Співнапрямлені чи протилежно напрямлені ці вектори?

Покроковий розв’язок:

Два ненульових вектори $\overrightarrow{u}(x_1;y_1)$ та $\overrightarrow{v}(x_2;y_2)$ є колінеарними тоді й лише тоді, коли їхні відповідні координати пропорційні:

де $k$ — коефіцієнт пропорційності ($\overrightarrow{v}=k\cdot \overrightarrow{u}$).

• Якщо $k>0$, то вектори є співнапрямленими ($\overrightarrow{u}\uparrow \uparrow \overrightarrow{v}$).
• Якщо $k<0$, то вектори є протилежно напрямленими ($\overrightarrow{u}\uparrow \downarrow \overrightarrow{v}$).

1. Дослідження першої пари векторів $\overrightarrow{a}$ і $\overrightarrow{b}$

За умовою $\overrightarrow{a}(-4;5)$ і $\overrightarrow{b}(-12;m)$. Складемо пропорцію для відповідних координат:

Знайдемо коефіцієнт пропорційності $k$:

Підставимо значення $k$ у рівняння:

Оскільки коефіцієнт пропорційності $k=3>0$, вектори мають однаковий напрямок, тобто $\overrightarrow{a}\uparrow \uparrow \overrightarrow{b}$.

2. Дослідження другої пари векторів $\overrightarrow{c}$ і $\overrightarrow{d}$

За умовою $\overrightarrow{c}(m;-1)$ і $\overrightarrow{d}(-4;2)$. Складемо відношення координат вектора $\overrightarrow{c}$ до вектора $\overrightarrow{d}$:

Визначимо коефіцієнт пропорційності $k$:

Знаходимо значення $m$:

Оскільки коефіцієнт пропорційності $k=-0,5<0$, вектори мають протилежні напрямки, тобто $\overrightarrow{c}\uparrow \downarrow \overrightarrow{d}$.

Відповідь:

1) $m=15$, вектори співнапрямлені ($\overrightarrow{a}\uparrow \uparrow \overrightarrow{b}$);

2) $m=2$, вектори протилежно напрямлені ($\overrightarrow{c}\uparrow \downarrow \overrightarrow{d}$).