Завдання № 9.18. § 9. Множення вектора на число (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

Дано вектори $\overrightarrow{c}(-1;4)$ та $\overrightarrow{d}(-6;7)$. Знайдіть модуль вектора:

1) $\overrightarrow{a}=2\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d}$;

2) $\overrightarrow{b}=3\overrightarrow{c}-2\overrightarrow{d}$.

Покроковий розв’язок:

Для розв’язання задачі скористаємося правилами дій над векторами, заданими своїми координатами:

• при множенні вектора на число кожна його координата множиться на це число: якщо $\vec{v}(x;y)$, то $k\vec{v}(k\cdot x;k\cdot y)$;
• при додаванні (відніманні) векторів їхні відповідні координати додаються (віднімаються);
• модуль (довжина) вектора $\vec{v}(x;y)$ знаходиться за формулою: $|\vec{v}|=\sqrt{x^2+y^2}$.

1. Знаходження модуля вектора $\overrightarrow{a}$

Знайдемо координати вектора $2\overrightarrow{c}$:
$2\overrightarrow{c}=(2\cdot (-1);2\cdot 4)=(-2;8)$

Обчислимо координати вектора $\overrightarrow{a}=2\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d}$, додавши відповідні координати векторів $2\overrightarrow{c}$ та $\overrightarrow{d}(-6;7)$:
$\overrightarrow{a}=(-2+(-6);8+7)=(-8;15)$

Обчислимо модуль вектора $\overrightarrow{a}$:
$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{(-8{)}^2+15^2}=\sqrt{64+225}=\sqrt{289}=17$

2. Знаходження модуля вектора $\overrightarrow{b}$

Знайдемо координати векторів $3\overrightarrow{c}$ та $2\overrightarrow{d}$:
$3\overrightarrow{c}=(3\cdot (-1);3\cdot 4)=(-3;12)$
$2\overrightarrow{d}=(2\cdot (-6);2\cdot 7)=(-12;14)$

Обчислимо координати вектора $\overrightarrow{b}=3\overrightarrow{c}-2\overrightarrow{d}$, віднявши відповідні координати:
$\overrightarrow{b}=(-3-(-12);12-14)=(-3+12;-2)=(9;-2)$

Обчислимо модуль вектора $\overrightarrow{b}$:
$|\overrightarrow{b}|=\sqrt{9^2+(-2{)}^2}=\sqrt{81+4}=\sqrt{85}$

Геометрична інтерпретація отриманих векторів $\overrightarrow{a}$ та $\overrightarrow{b}$ у системі координат:

Відповідь:

1) $17$;

2) $\sqrt{85}$.