Завдання № 9.17. § 9. Множення вектора на число (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Дано вектори $\overrightarrow{a}(-2;3)$ та $\overrightarrow{b}(-5;1)$. Знайдіть модуль вектора:

1) $\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}$;

2) $\overrightarrow{d}=4\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}$.

Покроковий розв’язок:

Пригадаємо основні правила дій над векторами, заданими своїми координатами:

1) При множенні вектора на число кожна його координата множиться на це число: якщо $\vec{v}(x;y)$, то $k\vec{v}(k\cdot x;k\cdot y)$.

2) При додаванні (відніманні) векторів їхні відповідні координати додаються (віднімаються): якщо $\vec{u}(x_1;y_1)$ та $\vec{v}(x_2;y_2)$, то $\vec{u}\pm \vec{v}=(x_1\pm x_2;y_1\pm y_2)$.

3) Модуль (довжина) вектора $\vec{v}(x;y)$ обчислюється за формулою: $|\vec{v}|=\sqrt{x^2+y^2}$.

1. Знаходження модуля вектора $\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}$

Знайдемо координати вектора $2\overrightarrow{b}$:
$2\overrightarrow{b}=(2\cdot (-5);2\cdot 1)=(-10;2)$

Знайдемо координати вектора $\overrightarrow{c}$ як суму координат векторів $\overrightarrow{a}$ та $2\overrightarrow{b}$:
$\overrightarrow{c}=(-2+(-10);3+2)=(-12;5)$

Обчислимо модуль вектора $\overrightarrow{c}$:
$|\overrightarrow{c}|=\sqrt{(-12{)}^2+5^2}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13$

2. Знаходження модуля вектора $\overrightarrow{d}=4\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}$

Знайдемо координати векторів $4\overrightarrow{a}$ та $3\overrightarrow{b}$:
$4\overrightarrow{a}=(4\cdot (-2);4\cdot 3)=(-8;12)$
$3\overrightarrow{b}=(3\cdot (-5);3\cdot 1)=(-15;3)$

Знайдемо координати вектора $\overrightarrow{d}$ як різницю координат векторів $4\overrightarrow{a}$ та $3\overrightarrow{b}$:
$\overrightarrow{d}=(-8-(-15);12-3)=(-8+15;9)=(7;9)$

Обчислимо модуль вектора $\overrightarrow{d}$:
$|\overrightarrow{d}|=\sqrt{7^2+9^2}=\sqrt{49+81}=\sqrt{130}$

Відповідь:

1) $13$;

2) $\sqrt{130}$.