Завдання № 9.16. § 9. Множення вектора на число (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Серед векторів $\overrightarrow{m}(-1;3)$, $\overrightarrow{n}(3;-9)$, $\overrightarrow{k}(-0,1;0,3)$ та $\overrightarrow{l}(30;-90)$ знайдіть пари співнапрямлених і пари протилежно напрямлених векторів.

Покроковий розв’язок:

Два ненульових вектори $\vec{a}(x_1;y_1)$ та $\vec{b}(x_2;y_2)$ є колінеарними тоді й лише тоді, коли їхні відповідні координати пропорційні, тобто існує таке число $\lambda \ne 0$, що:

• Якщо коефіцієнт пропорційності $\lambda >0$, то вектори є співнапрямленими ($\vec{a}\uparrow \uparrow \vec{b}$).
• Якщо коефіцієнт пропорційності $\lambda <0$, то вектори є протилежно напрямленими ($\vec{a}\uparrow \downarrow \vec{b}$).

Виразимо координати кожного вектора через вектор $\overrightarrow{m}(-1;3)$:

1. Зв’язок векторів із вектором $\overrightarrow{m}(-1;3)$:

• Для вектора $\overrightarrow{k}(-0,1;0,3)$:

  $$\frac{-0,1}{-1}=0,1,\frac{0,3}{3}=0,1⟹\overrightarrow{k}=0,1\cdot \overrightarrow{m}$$

  Оскільки $\lambda =0,1>0$, вектори $\overrightarrow{m}$ і $\overrightarrow{k}$ є співнапрямленими: $\overrightarrow{m}\uparrow \uparrow \overrightarrow{k}$.

• Для вектора $\overrightarrow{n}(3;-9)$:

  $$\frac{3}{-1}=-3,\frac{-9}{3}=-3⟹\overrightarrow{n}=-3\cdot \overrightarrow{m}$$

  Оскільки $\lambda =-3<0$, вектори $\overrightarrow{m}$ і $\overrightarrow{n}$ є протилежно напрямленими: $\overrightarrow{m}\uparrow \downarrow \overrightarrow{n}$.

• Для вектора $\overrightarrow{l}(30;-90)$:

  $$\frac{30}{-1}=-30,\frac{-90}{3}=-30⟹\overrightarrow{l}=-30\cdot \overrightarrow{m}$$

  Оскільки $\lambda =-30<0$, вектори $\overrightarrow{m}$ і $\overrightarrow{l}$ є протилежно напрямленими: $\overrightarrow{m}\uparrow \downarrow \overrightarrow{l}$.

2. Порівняння решти пар векторів між собою:

• Для пари $\overrightarrow{n}(3;-9)$ та $\overrightarrow{l}(30;-90)$:

  $$\frac{30}{3}=10,\frac{-90}{-9}=10⟹\overrightarrow{l}=10\cdot \overrightarrow{n}$$

  Оскільки коефіцієнт $10>0$, вектори $\overrightarrow{n}$ і $\overrightarrow{l}$ є співнапрямленими: $\overrightarrow{n}\uparrow \uparrow \overrightarrow{l}$.

• Для пари $\overrightarrow{k}(-0,1;0,3)$ та $\overrightarrow{n}(3;-9)$:

  $$\frac{3}{-0,1}=-30,\frac{-9}{0,3}=-30⟹\overrightarrow{n}=-30\cdot \overrightarrow{k}$$

  Оскільки коефіцієнт $-30<0$, вектори $\overrightarrow{k}$ і $\overrightarrow{n}$ є протилежно напрямленими: $\overrightarrow{k}\uparrow \downarrow \overrightarrow{n}$.

• Для пари $\overrightarrow{k}(-0,1;0,3)$ та $\overrightarrow{l}(30;-90)$:

  $$\frac{30}{-0,1}=-300,\frac{-90}{0,3}=-300⟹\overrightarrow{l}=-300\cdot \overrightarrow{k}$$

  Оскільки коефіцієнт $-300<0$, вектори $\overrightarrow{k}$ і $\overrightarrow{l}$ є протилежно напрямленими: $\overrightarrow{k}\uparrow \downarrow \overrightarrow{l}$.

Відповідь:
Пари співнапрямлених векторів: $\overrightarrow{m}$ і $\overrightarrow{k}$; $\overrightarrow{n}$ і $\overrightarrow{l}$.
Пари протилежно напрямлених векторів: $\overrightarrow{m}$ і $\overrightarrow{n}$; $\overrightarrow{m}$ і $\overrightarrow{l}$; $\overrightarrow{k}$ і $\overrightarrow{n}$; $\overrightarrow{k}$ і $\overrightarrow{l}$.