Завдання № 9.15. § 9. Множення вектора на число (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Серед векторів $a (1; - 2)$ , $b (- 2; 4)$ , $c (4; - 8)$ та $d (0, 2; 0, 4)$ знайдіть пари співнапрямлених і пари протилежно напрямлених векторів.

Покроковий розв’язок:

1. Теоретична основа колінеарності векторів

Два ненульових вектори $u (x_{1}; y_{1})$ та $v (x_{2}; y_{2})$ є колінеарними тоді й лише тоді, коли їхні відповідні координати пропорційні, тобто існує таке число $k \neq = 0$ , що:

v = k \cdot u ⟺ \frac{x _{2}}{x _{1}} = \frac{y _{2}}{y _{1}} = k

Напрямок колінеарних векторів визначається знаком коефіцієнта пропорційності $k$ :

якщо $k > 0$ , то вектори є співнапрямленими ( $u ↑↑ v$ );
якщо $k < 0$ , то вектори є протилежно напрямленими ( $u ↑↓ v$ );
якщо відношення координат не є рівними, вектори не є колінеарними (не паралельні та не лежать на одній прямій).

2. Перевірка пар векторів

Перевіримо всі можливі пари серед чотирьох заданих векторів:

1) Вектори $a (1; - 2)$ та $c (4; - 8)$ :

\frac{4}{1} = \frac{- 8}{- 2} = 4

Оскільки $k = 4 > 0$ , вектори $a$ та $c$ є співнапрямленими: $a ↑↑ c$ .

2) Вектори $a (1; - 2)$ та $b (- 2; 4)$ :

\frac{- 2}{1} = \frac{4}{- 2} = - 2

Оскільки $k = - 2 < 0$ , вектори $a$ та $b$ є протилежно напрямленими: $a ↑↓ b$ .

3) Вектори $b (- 2; 4)$ та $c (4; - 8)$ :

\frac{4}{- 2} = \frac{- 8}{4} = - 2

Оскільки $k = - 2 < 0$ , вектори $b$ та $c$ є протилежно напрямленими: $b ↑↓ c$ .

4) Вектори $a (1; - 2)$ та $d (0, 2; 0, 4)$ :

\frac{0 , 2}{1} = 0, 2, але \frac{0 , 4}{- 2} = - 0, 2

Відношення координат не рівні ( $0, 2 \neq = - 0, 2$ ), тому вектори $a$ та $d$ не є колінеарними.

5) Вектори $b (- 2; 4)$ та $d (0, 2; 0, 4)$ :

\frac{0 , 2}{- 2} = - 0, 1, але \frac{0 , 4}{4} = 0, 1

Оскільки $- 0, 1 \neq = 0, 1$ , вектори $b$ та $d$ не є колінеарними.

6) Вектори $c (4; - 8)$ та $d (0, 2; 0, 4)$ :

\frac{0 , 2}{4} = 0, 05, але \frac{0 , 4}{- 8} = - 0, 05

Оскільки $0, 05 \neq = - 0, 05$ , вектори $c$ та $d$ не є колінеарними.

Відповідь:
Пара співнапрямлених векторів: $a$ та $c$ .
Пари протилежно напрямлених векторів: $a$ та $b$ ; $b$ та $c$ .

Завдання № 9.15. § 9. Множення вектора на число (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку