Завдання № 9.10. § 9. Множення вектора на число (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

Чи колінеарні вектори:

1) $\vec{a}(2;-3)$ і $\vec{b}(6;-9)$;

2) $\vec{a}(-1;5)$ і $\vec{b}(2;10)$?

Покроковий розв’язок:

Два ненульових вектори $\vec{a}(x_1;y_1)$ та $\vec{b}(x_2;y_2)$ є колінеарними тоді й лише тоді, коли їхні відповідні координати пропорційні, тобто виконується рівність:
$\frac{x_2}{x_1}=\frac{y_2}{y_1}=k$
де $k$ — деяке дійсне число ($k\ne 0$). Якщо $k>0$, вектори співнапрямлені ($\vec{a}\uparrow \uparrow \vec{b}$), а якщо $k<0$ — протилежно напрямлені ($\vec{a}\uparrow \downarrow \vec{b}$).

1. Дослідження пари векторів $\vec{a}(2;-3)$ і $\vec{b}(6;-9)$

Знайдемо відношення відповідних координат векторів $\vec{b}$ та $\vec{a}$:

• для абсцис ($x$): $\frac{6}{2}=3$;
• для ординат ($y$): $\frac{-9}{-3}=3$.

Оскільки відношення рівні:
$\frac{6}{2}=\frac{-9}{-3}=3$
то $\vec{b}=3\cdot \vec{a}$.

Отже, відповідні координати пропорційні, а отже, вектори $\vec{a}$ і $\vec{b}$ є колінеарними (більше того, оскільки коефіцієнт пропорційності $k=3>0$, вони є співнапрямленими: $\vec{a}\uparrow \uparrow \vec{b}$).

2. Дослідження пари векторів $\vec{a}(-1;5)$ і $\vec{b}(2;10)$

Знайдемо відношення відповідних координат векторів $\vec{b}$ та $\vec{a}$:

• для абсцис ($x$): $\frac{2}{-1}=-2$;
• для ординат ($y$): $\frac{10}{5}=2$.

Порівняємо отримані значення:
$-2\ne 2⟹\frac{2}{-1}\ne \frac{10}{5}$

Оскільки рівність відношень координат не виконується, не існує такого числа $k$, для якого $\vec{b}=k\cdot \vec{a}$. Отже, дані вектори не є колінеарними.

Відповідь:

1) Так, колінеарні;

2) ні, не колінеарні.