Завдання № 8. Завдання для перевірки знань до §§ 15–17 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Хорда, довжина якої $43 см$ , стягує дугу кола, градусна міра якої становить $12 0^{\circ}$ . Знайдіть довжину кола.

Покроковий розв’язок:

1. Геометричний зміст умови
Нехай хорда $A B = 43 см$ стягує дугу $A B$ , градусна міра якої дорівнює $12 0^{\circ}$ .
Градусна міра відповідного центрального кута дорівнює градусній мірі дуги, на яку він спирається:

∠ A O B = 12 0^{\circ}

Відрізки $O A$ та $O B$ є радіусами кола ( $O A = O B = R$ ). Отже, трикутник $A O B$ є рівнобедреним з основою $A B$ .

2. Знаходження радіуса кола
За теоремою косинусів для трикутника $A O B$ :

A B^{2} = O A^{2} + O B^{2} - 2 \cdot O A \cdot O B \cdot cos ∠ A O B

Підставимо відомі значення:

(43)^{2} = R^{2} + R^{2} - 2 \cdot R \cdot R \cdot cos 12 0^{\circ}

Оскільки $cos 12 0^{\circ} = cos (18 0^{\circ} - 6 0^{\circ}) = - cos 6 0^{\circ} = - \frac{1}{2}$ , маємо:

16 \cdot 3 = 2 R^{2} - 2 R^{2} \cdot (- \frac{1}{2})

48 = 2 R^{2} + R^{2}

3 R^{2} = 48

R^{2} = \frac{48}{3} = 16

R = 16 = 4 см

3. Обчислення довжини кола
Довжина кола $C$ обчислюється за формулою:

C = 2 π R

Підставимо знайдений радіус $R = 4 см$ :

C = 2 π \cdot 4 = 8 π см

Відповідь:
$8 π см$

Завдання № 8. Завдання для перевірки знань до §§ 15–17 (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку