Завдання № 8. Завдання для перевірки знань до §§ 6–10 (Геометрія 9 клас Істер)

Умова:
Дано вектори $a (0; - 3)$ і $b (1; - 1)$ . Знайдіть кут між векторами $a$ і $b$ .

Покроковий розв’язок:

Косинус кута $φ$ між двома ненульовими векторами дорівнює відношенню їхнього скалярного добутку до добутку їхніх модулів (довжин):

cos φ = \frac{a \cdot b}{∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣}

1. Обчислення скалярного добутку векторів

Скалярний добуток векторів, заданих координатами $a (x_{1}; y_{1})$ та $b (x_{2}; y_{2})$ , дорівнює сумі добутків їхніх відповідних координат:

a \cdot b = x_{1} \cdot x_{2} + y_{1} \cdot y_{2}

Підставимо координати заданих векторів:

a \cdot b = 0 \cdot 1 + (- 3) \cdot (- 1) = 0 + 3 = 3

2. Обчислення модулів (довжин) векторів

Модуль вектора визначається за формулою довжини: $∣ v ∣ = x^{2} + y^{2}$ .

Знайдемо довжину вектора $a$ :

∣ a ∣ = 0^{2} + (- 3)^{2} = 0 + 9 = 9 = 3

Знайдемо довжину вектора $b$ :

∣ b ∣ = 1^{2} + (- 1)^{2} = 1 + 1 = 2

3. Знаходження кута між векторами

Підставимо отримані значення у формулу косинуса кута:

cos φ = \frac{3}{3 \cdot 2} = \frac{1}{2} = \frac{2}{2}

Оскільки кут між векторами лежить у межах від $0^{\circ}$ до $18 0^{\circ}$ , а косинус дорівнює $\frac{2}{2}$ , то:

φ = 4 5^{\circ}

Відповідь: $4 5^{\circ}$ .