Завдання № 8. Завдання для перевірки знань до §§ 1–5 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Доведіть, що чотирикутник $ABCD$ з вершинами в точках $A(-2;3)$, $B(4;-3)$, $C(2;7)$, $D(-4;13)$ є паралелограмом.

Покроковий розв’язок:

1. Ознака паралелограма
За ознакою паралелограма: якщо в чотирикутнику діагоналі точкою перетину діляться навпіл, то цей чотирикутник є паралелограмом.

Діагоналями чотирикутника $ABCD$ є відрізки $AC$ та $BD$.
Координати $(x;y)$ середини довільного відрізка з кінцями $(x_1;y_1)$ та $(x_2;y_2)$ знаходять за формулами:
$x=\frac{x_1+x_2}{2},y=\frac{y_1+y_2}{2}$

2. Обчислення координат середини діагоналі $AC$
Нехай точка $M$ — середина діагоналі $AC$. Використовуючи координати вершин $A(-2;3)$ і $C(2;7)$, отримуємо:
$x_M=\frac{-2+2}{2}=\frac{0}{2}=0$
$y_M=\frac{3+7}{2}=\frac{10}{2}=5$
Отже, середина діагоналі $AC$ має координати $M(0;5)$.

3. Обчислення координат середини діагоналі $BD$
Нехай точка $K$ — середина діагоналі $BD$. Використовуючи координати вершин $B(4;-3)$ і $D(-4;13)$, отримуємо:
$x_K=\frac{4+(-4)}{2}=\frac{0}{2}=0$
$y_K=\frac{-3+13}{2}=\frac{10}{2}=5$
Отже, середина діагоналі $BD$ має координати $K(0;5)$.

4. Геометрична ілюстрація та висновок
Оскільки координати точок $M$ і $K$ збігаються ($M=K=O(0;5)$), діагоналі $AC$ та $BD$ перетинаються в одній точці й діляться нею навпіл. Отже, за ознакою паралелограма, чотирикутник $ABCD$ є паралелограмом, що й треба було довести.

Відповідь:
Доведено. Точка перетину діагоналей має координати $(0;5)$ і ділить діагоналі $AC$ та $BD$ навпіл, тому чотирикутник $ABCD$ є паралелограмом.