Завдання № 8. Задачі підвищеної складності (Геометрія 9 клас Істер)

Умова:

Знайдіть невідомі координати двох вершин ромба з кутом $6 0^{\circ}$ , якщо відомо координати двох його вершин $A (- 1; 0)$ і $B (1; 0)$ .

Покроковий розв’язок:

1. Довжина відрізка $A B$

Знайдемо відстань між заданими точками $A (- 1; 0)$ та $B (1; 0)$ за формулою відстані між двома точками:
$A B = (1 - (- 1))^{2} + (0 - 0)^{2} = 2^{2} = 2$

Середина відрізка $A B$ збігається з початком координат — точкою $O (0; 0)$ .

Оскільки в умові не вказано, чи є відрізок $A B$ стороною ромба, чи його діагоналлю, розглянемо обидва можливі випадки.

2. Перший випадок: відрізок $A B$ є стороною ромба

Якщо $A B$ — сторона ромба, то довжина сторони дорівнює $2$ . Сусідні кути ромба в сумі становлять $18 0^{\circ}$ , тому кути ромба дорівнюють $6 0^{\circ}$ та $12 0^{\circ}$ .

Висота $h$ ромба, проведена до прямої $A B$ (осі абсцис), обчислюється через сторону та кут ромба:
$h = A B \cdot sin 6 0^{\circ} = 2 \cdot \frac{3}{2} = 3$

Отже, протилежна до $A B$ сторона ромба лежить на прямій $y = 3$ або на прямій $y = - 3$ і паралельна осі $O x$ .

• Вершини у верхній півплощині ( $y = 3$ ):

1) Якщо $∠ A = 6 0^{\circ}$ , то вершина $D$ утворює рівносторонній трикутник $△ A B D$ зі стороною $2$ . Тоді проекція вершини $D$ на вісь $O x$ є серединою відрізка $A B$ , тобто точкою $O (0; 0)$ . Звідси $D_{1} (0; 3)$ . Оскільки сторона $D_{1} C_{1}$ дорівнює $2$ та співнапрямлена з вектором $A B (2; 0)$ , координати вершини $C$ :
$C_{1} (0 + 2; 3) ⟹ C_{1} (2; 3)$
Отримуємо пару вершин: $C_{1} (2; 3)$ , $D_{1} (0; 3)$ .

2) Якщо $∠ B = 6 0^{\circ}$ , то рівностороннім є трикутник $△ A B C$ . Проекція точки $C$ на вісь $O x$ є точкою $O (0; 0)$ , отже, $C_{2} (0; 3)$ . Тоді вершина $D$ зміщена ліворуч на $2$ одиниці:
$D_{2} (0 - 2; 3) ⟹ D_{2} (- 2; 3)$
Отримуємо пару вершин: $C_{2} (0; 3)$ , $D_{2} (- 2; 3)$ .

• Вершини в нижній півплощині ( $y = - 3$ ):
За симетрією відносно осі абсцис маємо ще дві пари вершин:
3) $C_{3} (2; - 3)$ , $D_{3} (0; - 3)$ .
4) $C_{4} (0; - 3)$ , $D_{4} (- 2; - 3)$ .

3. Другий випадок: відрізок $A B$ є діагоналлю ромба

Якщо $A B$ — діагональ ромба, то точки $A$ і $B$ є протилежними вершинами. Довжина діагоналі $A B = 2$ , а її половина:
$A O = O B = 1$

За властивістю ромба діагоналі взаємно перпендикулярні й точкою перетину діляться навпіл. Оскільки діагональ $A B$ лежить на осі абсцис із центром у точці $O (0; 0)$ , друга діагональ лежить на осі ординат (прямій $x = 0$ ), а невідомі вершини мають вигляд $(0; y)$ та $(0; - y)$ . Діагоналі ділять кути ромба навпіл.

1) Нехай кут $6 0^{\circ}$ розташований при вершинах на осі ординат. Тоді кут між другою діагоналлю та стороною ромба дорівнює $\frac{6 0 ^{\circ}}{2} = 3 0^{\circ}$ . У прямокутному трикутнику з катетами $A O = 1$ та половиною діагоналі $y$ :
$tg 3 0^{\circ} = \frac{A O}{y} ⟹ \frac{3}{3} = \frac{1}{y} ⟹ y = 3$
Звідси отримуємо пару вершин: $(0; 3)$ та $(0; - 3)$ .

2) Нехай кут $6 0^{\circ}$ розташований при вершинах $A$ та $B$ . Тоді кут між діагоналлю $A B$ та стороною ромба дорівнює $\frac{6 0 ^{\circ}}{2} = 3 0^{\circ}$ . У прямокутному трикутнику:
$tg 3 0^{\circ} = \frac{y}{A O} ⟹ \frac{3}{3} = \frac{y}{1} ⟹ y = \frac{3}{3}$
Звідси отримуємо пару вершин: $(0; \frac{3}{3})$ та $(0; - \frac{3}{3})$ .

Усього задача має $6$ можливих конфігурацій шуканих вершин.

Відповідь:

Можливі $6$ варіантів шуканих вершин:

1) $(2; 3)$ та $(0; 3)$ ;

2) $(0; 3)$ та $(- 2; 3)$ ;

3) $(2; - 3)$ та $(0; - 3)$ ;

4) $(0; - 3)$ та $(- 2; - 3)$ ;

5) $(0; 3)$ та $(0; - 3)$ ;

6) $(0; \frac{3}{3})$ та $(0; - \frac{3}{3})$ .

Завдання № 8. Задачі підвищеної складності (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку