Завдання № 8. Вправи для повторення розділу 6 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Проілюструйте всі можливі випадки взаємного розміщення прямої та площини на моделі куба.

Покроковий розв’язок:
У просторі пряма і площина можуть мати три варіанти взаємного розміщення: пряма лежить у площині, пряма паралельна площині або пряма перетинає площину.

Розглянемо куб $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$ та зафіксуємо площину його нижньої основи $\alpha =(ABC)$ (або $(ABCD)$).

1. Пряма лежить у площині
Якщо пряма має з площиною принаймні дві спільні точки, то за аксіомою стереометрії вона повністю лежить у цій площині.
На моделі куба пряма $AB$ проходить через вершини $A$ і $B$, які належать площині $\alpha$. Отже, пряма $AB$ лежить у площині $\alpha$:
$AB\subset \alpha$
(кількість спільних точок — безліч)

2. Пряма паралельна площині
Пряма та площина називаються паралельними, якщо вони не мають жодної спільної точки.
Ребро $A_1{B}_1$ верхньої основи паралельне ребру $AB$ нижньої основи ($A_1{B}_1\parallel AB$). Оскільки пряма $AB$ лежить у площині $\alpha$, то за ознакою паралельності прямої та площини пряма $A_1{B}_1$ паралельна площині $\alpha$:
$A_1{B}_1\parallel \alpha$
(кількість спільних точок — жодної, тобто $A_1{B}_1\cap \alpha =\varnothing$)

3. Пряма перетинає площину
Пряма і площина мають рівно одну спільну точку.
Бічне ребро $A{A}_1$ куба перпендикулярне до площини основи $\alpha$ і має з нею єдину спільну точку $A$:
$A{A}_1\cap \alpha =A$
(кількість спільних точок — рівно одна)

Відповідь:
Існує три випадки взаємного розміщення прямої та площини:

1) Пряма лежить у площині ($AB\subset \alpha$);

2) Пряма паралельна площині ($A_1{B}_1\parallel \alpha$);

3) Пряма перетинає площину ($A{A}_1\cap \alpha =A$).