Завдання № 8. Вправи для повторення розділу 4 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Сума зовнішніх кутів правильного многокутника, узятих по одному при кожній вершині, разом з одним із внутрішніх кутів дорівнює $528^{\circ }$. Знайдіть кількість сторін многокутника.

Покроковий розв’язок:

1. Визначення величини внутрішнього кута
За теоремою про суму зовнішніх кутів опуклого многокутника, узятих по одному при кожній вершині, ця сума не залежить від кількості сторін і завжди дорівнює $360^{\circ }$.

Нехай $\alpha$ — градусна міра внутрішнього кута даного правильного многокутника. За умовою задачі:
$360^{\circ }+\alpha =528^{\circ }$

Звідси знаходимо величину внутрішнього кута:
$\alpha =528^{\circ }-360^{\circ }=168^{\circ }$

2. Обчислення величини зовнішнього кута
Внутрішній і зовнішній кути при одній вершині многокутника є суміжними, тому їхня сума становить $180^{\circ }$. Знайдемо градусну міру зовнішнього кута $\beta$:
$\beta =180^{\circ }-\alpha =180^{\circ }-168^{\circ }=12^{\circ }$

3. Знаходження кількості сторін многокутника
У правильного многокутника всі зовнішні кути рівні між собою. Оскільки їхня повна сума дорівнює $360^{\circ }$, кількість сторін $n$ дорівнює кількості зовнішніх кутів:
$n=\frac{360^{\circ }}{\beta }=\frac{360^{\circ }}{12^{\circ }}=30$

(Перевірка за формулою внутрішнього кута правильного $n$-кутника:
$\alpha =\frac{180^{\circ }\cdot (n-2)}{n}⟹168^{\circ }=\frac{180^{\circ }\cdot (30-2)}{30}=\frac{180^{\circ }\cdot 28}{30}=6\cdot 28=168^{\circ }\text{, рівність правильна).*}$

Відповідь:
$30$