Завдання № 8. Вправи для повторення розділу 3 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Дві сторони трикутника відносяться як $\sqrt{3}:2$, а кут між ними дорівнює $30^{\circ }$. Знайдіть ці сторони, якщо третя сторона дорівнює $5\text{ см}$.

Покроковий розв’язок:

1. Введення змінної та позначення сторін
Нехай коефіцієнт пропорційності дорівнює $x$, де $x>0$.
Тоді невідомі сторони трикутника дорівнюють $\sqrt{3}x\text{ см}$ та $2x\text{ см}$.

Кут між цими сторонами становить $30^{\circ }$, а третя сторона дорівнює $5\text{ см}$.

2. Застосування теореми косинусів
За теоремою косинусів квадрат сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін без подвоєного добутку цих сторін на косинус кута між ними:

$5^2=(\sqrt{3}x{)}^2+(2x{)}^2-2\cdot \sqrt{3}x\cdot 2x\cdot \cos 30^{\circ }$

Підставимо значення $\cos 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$:

$25=3x^2+4x^2-4\sqrt{3}{x}^2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

3. Розв’язання рівняння
Спростимо вираз:

$25=7x^2-\frac{4\cdot 3\cdot x^2}{2}$

$25=7x^2-6x^2$

$x^2=25$

Звідси отримуємо два алгебраїчні корені:
$x=5\text{або}x=-5$

Оскільки довжина сторони та коефіцієнт пропорційності можуть бути лише додатними числами ($x>0$), корінь $x=-5$ не задовольняє умову задачі. Отже, $x=5$.

4. Обчислення довжин шуканих сторін
Знайдемо довжини сторін трикутника:

• Перша сторона: $\sqrt{3}\cdot 5=5\sqrt{3}\text{ см}$;
• Друга сторона: $2\cdot 5=10\text{ см}$.

Відповідь:
$5\sqrt{3}\text{ см}$ і $10\text{ см}$.