Завдання № 8. Вправи для повторення розділу 2 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

1) Чи правильне твердження: «Якщо вектори не є рівними, то їхні модулі також не є рівними»?

2) Чи правильне обернене твердження?

Покроковий розв’язок:

За означенням рівності векторів, два ненульові вектори називаються рівними тоді й лише тоді, коли виконуються дві умови одночасно:

1) Їхні модулі рівні.

2) Вони однаково напрямлені (співнапрямлені).

1. Перевірка прямого твердження

Твердження: «Якщо вектори не є рівними, то їхні модулі також не є рівними».

Розглянемо випадок, коли два вектори мають однакову довжину (модуль), але різний напрямок. Наприклад, протилежні вектори $\vec{a}$ та $-\vec{a}$:
$|\vec{a}|=|-\vec{a}|$

Оскільки їхні напрямки протилежні ($\vec{a}\uparrow \downarrow -\vec{a}$), ці вектори не є рівними ($\vec{a}\ne -\vec{a}$). Проте їхні модулі рівні.

Отже, дане твердження є неправильним.

2. Перевірка оберненого твердження

Сформулюємо обернене твердження: «Якщо модулі векторів не є рівними, то вектори не є рівними».

Нехай дано вектори $\vec{a}$ та $\vec{b}$, для яких $|\vec{a}|\ne |\vec{b}|$.
Оскільки для рівності векторів $\vec{a}=\vec{b}$ обов’язковою умовою є рівність їхніх модулів ($|\vec{a}|=|\vec{b}|$), то нерівність модулів унеможливлює рівність самих векторів.

Отже, обернене твердження є правильним.

Відповідь:

1) Ні, твердження неправильне;

2) Так, обернене твердження («Якщо модулі векторів не є рівними, то вектори не є рівними») є правильним.