Завдання № 8. Повторюємо геометрію за 8 клас (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

$ABCD$ — прямокутник. Знайдіть:

1) $\angle 3$, якщо $\angle 8=40^{\circ }$;

2) $\angle 2$, якщо $\angle 9=110^{\circ }$;

3) $\angle 10$, якщо $\angle 1=35^{\circ }$.

Покроковий розв’язок:

Нехай точка $O$ — точка перетину діагоналей прямокутника $ABCD$.

За властивістю прямокутника:

• Усі внутрішні кути дорівнюють $90^{\circ }$;
• Протилежні сторони паралельні ($BC\parallel AD$, $AB\parallel CD$);
• Діагоналі рівні ($AC=BD$) і точкою перетину діляться навпіл, тому $AO=BO=CO=DO$.

1. Знаходження $\angle 3$, якщо $\angle 8=40^{\circ }$

Кут $B$ прямокутника дорівнює $90^{\circ }$ і складається з кутів $\angle 7$ та $\angle 8$:
$\angle 7+\angle 8=90^{\circ }$
Звідси:
$\angle 7=90^{\circ }-\angle 8=90^{\circ }-40^{\circ }=50^{\circ }$

Оскільки протилежні сторони прямокутника паралельні ($BC\parallel AD$), кути $\angle 7$ та $\angle 3$ є внутрішніми різносторонніми при паралельних прямих $BC$ і $AD$ та січній $BD$. Отже:
$\angle 3=\angle 7=50^{\circ }$

2. Знаходження $\angle 2$, якщо $\angle 9=110^{\circ }$

Розглянемо $△AOD$. Оскільки $AO=DO$, трикутник $△AOD$ є рівнобедреним з основою $AD$.

За властивістю рівнобедреного трикутника кути при його основі рівні:
$\angle 2=\angle 3$

Сума кутів трикутника дорівнює $180^{\circ }$:
$\angle 2+\angle 3+\angle 9=180^{\circ }$

Підставивши $\angle 3=\angle 2$ та $\angle 9=110^{\circ }$, маємо:
$2\cdot \angle 2+110^{\circ }=180^{\circ }$
$2\cdot \angle 2=180^{\circ }-110^{\circ }$
$2\cdot \angle 2=70^{\circ }$
$\angle 2=\frac{70^{\circ }}{2}=35^{\circ }$

3. Знаходження $\angle 10$, якщо $\angle 1=35^{\circ }$

Розглянемо $△ABO$. Оскільки $AO=BO$, трикутник $△ABO$ є рівнобедреним з основою $AB$.

Кути при його основі рівні:
$\angle 8=\angle 1=35^{\circ }$

За теоремою про суму кутів трикутника в $△ABO$:
$\angle 1+\angle 8+\angle 12=180^{\circ }$
$35^{\circ }+35^{\circ }+\angle 12=180^{\circ }$
$\angle 12=180^{\circ }-70^{\circ }=110^{\circ }$

Кути $\angle 10$ та $\angle 12$ є вертикальними при перетині прямих $AC$ і $BD$, тому вони рівні:
$\angle 10=\angle 12=110^{\circ }$

Відповідь:

1) $\angle 3=50^{\circ }$;

2) $\angle 2=35^{\circ }$;

3) $\angle 10=110^{\circ }$.