Завдання № 8. Домашня самостійна робота 4 (§§ 15–17) (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Хорда, довжина якої дорівнює $8\sqrt{2}\text{ см}$, стягує дугу кола, градусна міра якої становить $90^{\circ }$. Знайдіть довжину кола.

А. $8\pi \text{ см}$
Б. $32\pi \text{ см}$
В. $8\sqrt{2}\pi \text{ см}$
Г. $16\pi \text{ см}$

Покроковий розв’язок:

1. Визначення центрального кута
Нехай хорда $AB=8\sqrt{2}\text{ см}$ стягує дугу $AB$, градусна міра якої дорівнює $90^{\circ }$. Оскільки градусна міра дуги кола дорівнює градусній мірі відповідного центрального кута, що на неї спирається, то:
$\angle AOB=90^{\circ }$

2. Знаходження радіуса кола
Розглянемо трикутник $△AOB$, у якому сторони $OA$ і $OB$ є радіусами кола ($OA=OB=R$). Отже, $△AOB$ — прямокутний рівнобедрений трикутник із гіпотенузою $AB$.

За теоремою Піфагора:
$O{A}^2+O{B}^2=A{B}^2$
$R^2+R^2={\left(8\sqrt{2}\right)}^2$
$2\cdot R^2=64\cdot 2$
$R^2=64$

Оскільки радіус кола є величиною додатною:
$R=\sqrt{64}=8\text{ см}$

3. Обчислення довжини кола
Формула для знаходження довжини кола має вигляд:
$C=2\pi R$

Підставимо отримане значення радіуса:
$C=2\pi \cdot 8=16\pi \text{ см}$

Відповідь: Г. $16\pi \text{ см}$.