Завдання № 8. Домашня самостійна робота 3 (§§11–14) (Геометрія 9 клас Істер)

Умова:
У трикутнику $A B C$ $∠ B = 3 0^{\circ}$ , $A C = 22 см$ , $B C = 4 см$ . Знайдіть $∠ A$ .

А. $3 0^{\circ}$
Б. $4 5^{\circ}$
В. $6 0^{\circ}$
Г. $4 5^{\circ}$ або $13 5^{\circ}$

Покроковий розв’язок:

1. Застосування теореми синусів
За теоремою синусів сторони трикутника пропорційні синусам протилежних кутів:

\frac{B C}{sin ∠ A} = \frac{A C}{sin ∠ B}

Звідси виразимо $sin ∠ A$ :

sin ∠ A = \frac{B C \cdot sin ∠ B}{A C}

2. Обчислення значення синуса
Підставимо числові значення, враховуючи, що $sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ :

sin ∠ A = \frac{4 \cdot \frac{1}{2}}{2 2} = \frac{2}{2 2} = \frac{1}{2} = \frac{2}{2}

3. Визначення можливих значень кута $∠ A$
Для кута трикутника ( $0^{\circ} < ∠ A < 18 0^{\circ}$ ) рівняння $sin ∠ A = \frac{2}{2}$ має два корені:

1) гострий кут: $∠ A_{1} = 4 5^{\circ}$ ;

2) тупий кут: $∠ A_{2} = 18 0^{\circ} - 4 5^{\circ} = 13 5^{\circ}$ .

4. Перевірка існування трикутника для кожного випадку
Сума кутів трикутника дорівнює $18 0^{\circ}$ , а проти більшої сторони має лежати більший кут ( $B C > A C$ , отже, $∠ A > ∠ B = 3 0^{\circ}$ ):

1) Якщо $∠ A = 4 5^{\circ}$ :

∠ C = 18 0^{\circ} - (∠ B + ∠ A) = 18 0^{\circ} - (3 0^{\circ} + 4 5^{\circ}) = 10 5^{\circ}

Умова виконується: $∠ A = 4 5^{\circ} > 3 0^{\circ}$ та $∠ C > 0^{\circ}$ . Трикутник $△ A_{1} B C$ існує.

2) Якщо $∠ A = 13 5^{\circ}$ :

∠ C = 18 0^{\circ} - (∠ B + ∠ A) = 18 0^{\circ} - (3 0^{\circ} + 13 5^{\circ}) = 1 5^{\circ}

Умова виконується: $∠ A = 13 5^{\circ} > 3 0^{\circ}$ та $∠ C > 0^{\circ}$ . Трикутник $△ A_{2} B C$ існує.

Отже, задача має два розв’язки: $∠ A = 4 5^{\circ}$ або $∠ A = 13 5^{\circ}$ .

Відповідь:
Г. $4 5^{\circ}$ або $13 5^{\circ}$

Завдання № 8. Домашня самостійна робота 3 (§§11–14) (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку