Завдання № 8.26. § 8. Додавання і віднімання векторів (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

(Національна олімпіада Швеції, 1982 р.) Доведіть, що коли для деякої точки $O$, яка лежить у внутрішній області чотирикутника $ABCD$, площі трикутників $ABO$, $BCO$, $CDO$ і $DAO$ рівні між собою, то ця точка належить хоча б одній з діагоналей $AC$ або $BD$.

Покроковий розв’язок:

За умовою площі чотирьох утворених трикутників рівні:
$S_{△ABO}=S_{△BCO}=S_{△CDO}=S_{△DAO}$

Позначимо через $M$ середину діагоналі $AC$.

1. Дослідження прямої $BO$

Розглянемо трикутники $△ABO$ та $△BCO$. Вони мають спільну сторону $BO$. Площа кожного з них дорівнює половині добутку спільної сторони на висоту, проведену до прямої $BO$:
$S_{△ABO}=\frac{1}{2}\cdot BO\cdot h_A,S_{△BCO}=\frac{1}{2}\cdot BO\cdot h_C$
де $h_A$ та $h_C$ — перпендикуляри, опущені відповідно з вершин $A$ та $C$ на пряму $BO$.

Оскільки $S_{△ABO}=S_{△BCO}$, то довжини цих висот рівні:
$h_A=h_C$

Оскільки точка $O$ лежить у внутрішній області чотирикутника $ABCD$, вершини $A$ та $C$ лежать по різні боки від прямої $BO$. З рівності висот $h_A=h_C$ та прямокутних трикутників, утворених цими висотами і точкою перетину відрізка $AC$ із прямою $BO$, випливає, що пряма $BO$ ділить відрізок $AC$ навпіл.

Отже, пряма $BO$ проходить через середину діагоналі $AC$ — точку $M$.

2. Дослідження прямої $DO$

Аналогічно розглянемо трикутники $△ADO$ та $△CDO$. Вони мають спільну сторону $DO$.
Оскільки $S_{△ADO}=S_{△CDO}$, висоти, проведені з точок $A$ та $C$ до прямої $DO$, також рівні між собою.

Точки $A$ та $C$ лежать по різні боки від прямої $DO$, тому пряма $DO$ також перетинає відрізок $AC$ у його середині. Отже, пряма $DO$ проходить через точку $M$.

3. Висновки щодо положення точки $O$

Можливі два випадки розташування точок $O$ та $M$:

1) Точка $O$ збігається з точкою $M$ ($O=M$).
У цьому разі точка $O$ є серединою діагоналі $AC$, отже, $O\in AC$.

2) Точка $O$ не збігається з точкою $M$ ($O\ne M$).
Через дві різні точки $O$ та $M$ проходить єдина пряма. З кроків 1 та 2 встановлено, що точки $B$ та $D$ лежать на цій прямій. Це означає, що точки $B$, $O$, $D$ (а також $M$) лежать на одній прямій, тобто $O\in BD$.

В обох випадках точка $O$ належить хоча б одній із діагоналей чотирикутника ($AC$ або $BD$).

Відповідь:
Твердження доведено. Точка $O$ обов’язково належить діагоналі $AC$ (якщо $O$ є серединою $AC$) або діагоналі $BD$ (якщо $O$ не збігається із серединою $AC$).