Завдання № 8.25. § 8. Додавання і віднімання векторів (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Брус, поперечним перерізом якого є прямокутник, має найбільшу міцність тоді, коли перпендикуляри, проведені з протилежних вершин цього прямокутника до його діагоналі, ділять її на три рівні частини. Визначте з точністю до десятих сантиметрів, яких максимальних розмірів можна випиляти брус із колоди циліндричної форми діаметром $36\text{ см}$.

Покроковий розв’язок:

1. Геометрична модель задачі

Поперечний переріз циліндричної колоди є кругом діаметра $36\text{ см}$, а переріз бруса — прямокутником $ABCD$, вписаним у цей круг.

Оскільки всі кути прямокутника прямі ($\angle ABC=90^{\circ }$), за теоремою про вписаний кут, що спирається на діаметр, діагональ прямокутника $AC$ є діаметром описаного круга:
$AC=36\text{ см}$

2. Визначення проекцій сторін на діагональ

За умовою, перпендикуляри $BE\perp AC$ та $DF\perp AC$, проведені з вершин прямокутника, ділять діагональ $AC$ на три рівні частини:
$AE=EF=FC=\frac{AC}{3}=\frac{36}{3}=12\text{ см}$

Звідси довжина відрізка $EC$ дорівнює:
$EC=EF+FC=12+12=24\text{ см}$

3. Знаходження сторін прямокутника

Розглянемо прямокутний трикутник $△ABC$ ($\angle ABC=90^{\circ }$), у якому відрізок $BE$ є висотою, опущеною з вершини прямого кута на гіпотенузу $AC$.

За метричними співвідношеннями у прямокутному трикутнику:

1) Квадрат катета дорівнює добутку гіпотенузи та його проекції на гіпотенузу:
$A{B}^2=AE\cdot AC$
$A{B}^2=12\cdot 36=432$
$AB=\sqrt{432}=\sqrt{144\cdot 3}=12\sqrt{3}\text{ см}$
Обчислимо наближене значення:
$AB\approx 12\cdot 1,73205\approx 20,78\text{ см}$

2) Для другого катета $BC$:
$B{C}^2=EC\cdot AC$
$B{C}^2=24\cdot 36=864$
$BC=\sqrt{864}=\sqrt{144\cdot 6}=12\sqrt{6}\text{ см}$
Обчислимо наближене значення:
$BC\approx 12\cdot 2,44949\approx 29,39\text{ см}$

4. Практичне округлення розмірів

Перевірка за теоремою Піфагора підтверджує точність розрахунків:
$A{B}^2+B{C}^2=432+864=1296=36^2$

Оскільки брус фізично випилюють із циліндричної колоди діаметром $36\text{ см}$, його діагональ не може перевищувати діаметр колоди:
$\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}\le 36\text{ см}$

Якщо округлити розміри за стандартним правилом у більший бік ($20,8\text{ см}$ і $29,4\text{ см}$), то:
$20,8^2+29,4^2=432,64+864,36=1297>1296=36^2$
У такому разі кути бруса виходитимуть за межі колоди.

Тому, щоб брус гарантовано помістився в колоду, значення слід округлити з недостачею (вниз):
$AB\approx 20,7\text{ см},BC\approx 29,3\text{ см}$
$20,7^2+29,3^2=428,49+858,49=1286,98<1296$

Відповідь:
$20,7\text{ см}\cdot 29,3\text{ см}$