Завдання № 8.22. § 8. Додавання і віднімання векторів (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
$ABCD$ — трапеція з основами $AB$ і $CD$. Укажіть усі пари векторів, утворених вершинами основ, які є:

1) співнапрямленими;

2) протилежно напрямленими.

Покроковий розв’язок:

1. Геометричні властивості основ трапеції
За означенням трапеції, її основи є паралельними відрізками, отже, прямі $AB$ та $CD$ паралельні ($AB\parallel CD$).

Ненульові вектори називають колінеарними, якщо вони лежать на одній прямій або на паралельних прямих. Оскільки $AB\parallel CD$, то всі ненульові вектори, кінцями яких є вершини основ трапеції (а саме $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{BA}$, $\overrightarrow{CD}$, $\overrightarrow{DC}$), є колінеарними.

Колінеарні вектори можуть бути або співнапрямленими ($\uparrow \uparrow$), або протилежно напрямленими ($\uparrow \downarrow$).

2. Визначення напрямків векторів
Розглянемо трапецію $ABCD$, вершини якої розташовані за стандартним обходом: нижня основа $AB$ (зліва направо: від точки $A$ до точки $B$), а верхня основа $CD$ (відповідно, вершина $D$ розташована над $A$, а вершина $C$ — над $B$, отже зліва направо маємо напрямок від $D$ до $C$).

• Вектори $\overrightarrow{AB}$ та $\overrightarrow{DC}$ спрямовані в один бік (зліва направо), отже, вони співнапрямлені: $\overrightarrow{AB}\uparrow \uparrow \overrightarrow{DC}$.
• Вектори $\overrightarrow{BA}$ та $\overrightarrow{CD}$ також спрямовані в один бік (справа наліво), тому вони співнапрямлені: $\overrightarrow{BA}\uparrow \uparrow \overrightarrow{CD}$.
• Вектори $\overrightarrow{AB}$ (вправо) і $\overrightarrow{CD}$ (вліво) спрямовані в протилежні боки: $\overrightarrow{AB}\uparrow \downarrow \overrightarrow{CD}$.
• Вектори $\overrightarrow{BA}$ (вліво) і $\overrightarrow{DC}$ (вправо) також спрямовані в протилежні боки: $\overrightarrow{BA}\uparrow \downarrow \overrightarrow{DC}$.

Крім того, вектори, що лежать на одній основі й мають спільні кінці, але протилежний порядок точок, також протилежно напрямлені:

• $\overrightarrow{AB}\uparrow \downarrow \overrightarrow{BA}$
• $\overrightarrow{CD}\uparrow \downarrow \overrightarrow{DC}$

Відповідь:

1) Пари співнапрямлених векторів: $\overrightarrow{AB}$ і $\overrightarrow{DC}$; $\overrightarrow{BA}$ і $\overrightarrow{CD}$.

2) Пари протилежно напрямлених векторів: $\overrightarrow{AB}$ і $\overrightarrow{CD}$; $\overrightarrow{BA}$ і $\overrightarrow{DC}$ (а також пари векторів на спільних основах: $\overrightarrow{AB}$ і $\overrightarrow{BA}$; $\overrightarrow{CD}$ і $\overrightarrow{DC}$).