Завдання № 8.21. § 8. Додавання і віднімання векторів (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Дано вектори $\overrightarrow{p}(4;-3)$, $\overrightarrow{m}(9;y)$ та $\overrightarrow{n}(-2;5)$. За якого значення $y$ модуль вектора $\overrightarrow{p}+\overrightarrow{m}-\overrightarrow{n}$ буде найменшим?

Покроковий розв’язок:

1. Знайдемо координати результуючого вектора
Нехай $\overrightarrow{c}=\overrightarrow{p}+\overrightarrow{m}-\overrightarrow{n}$. За правилами додавання та віднімання векторів, координати вектора-суми (чи вектора-різниці) дорівнюють відповідній сумі або різниці їхніх координат:

Для абсциси ($x$-координати):
$x_c=4+9-(-2)=13+2=15$

Для ординати ($y$-координати):
$y_c=-3+y-5=y-8$

Отже, вектор $\overrightarrow{c}$ має координати:
$\overrightarrow{c}(15;y-8)$

2. Запишемо формулу для обчислення модуля вектора
Модуль вектора через його координати визначається за формулою:
$|\overrightarrow{c}|=\sqrt{x_c^2+y_c^2}$

Підставимо отримані координати:
$|\overrightarrow{p}+\overrightarrow{m}-\overrightarrow{n}|=\sqrt{15^2+(y-8{)}^2}=\sqrt{225+(y-8{)}^2}$

3. Знайдемо значення $y$, за якого модуль буде найменшим
Арифметичний квадратний корінь $\sqrt{225+(y-8{)}^2}$ набуває найменшого можливого значення тоді й тільки тоді, коли підкореневий вираз $225+(y-8{)}^2$ є мінімальним.

Оскільки квадрат будь-якого дійсного числа завжди невід’ємний:
$(y-8{)}^2\ge 0$

То мінімальне значення виразу $(y-8{)}^2$ дорівнює $0$, і воно досягається за умови:
$y-8=0⟹y=8$

При цьому найменший модуль вектора становить:
$\sqrt{225+0}=\sqrt{225}=15$

Відповідь:
$8$