Завдання № 8.20. § 8. Додавання і віднімання векторів (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Дано вектори $\vec{a}(-2;5)$, $\vec{b}(3;-4)$, $\vec{c}(x;8)$. За якого значення $x$ модуль вектора $\vec{a}-\vec{b}-\vec{c}$ буде найменшим?

Покроковий розв’язок:

1. Знаходження координат різниці векторів

За правилом віднімання векторів, координати різниці векторів дорівнюють різниці їхніх відповідних координат.

Позначимо шуканий вектор через $\vec{d}=\vec{a}-\vec{b}-\vec{c}$.

Знайдемо його координати:

Отже, вектор $\vec{d}$ має координати:

2. Обчислення модуля вектора

Модуль (довжина) вектора з координатами $(d_x;d_y)$ обчислюється за формулою:

Підставимо отримані координати:

3. Дослідження виразу на найменше значення

Арифметичний квадратний корінь $\sqrt{(x+5{)}^2+1}$ набуває найменшого значення тоді, коли підкореневий вираз $(x+5{)}^2+1$ є мінімальним.

Оскільки квадрат будь-якого дійсного числа завжди невід’ємний, тобто $(x+5{)}^2\ge 0$, то найменше можливе значення виразу $(x+5{)}^2$ дорівнює $0$.

Це значення досягається за умови:

При $x=-5$ модуль вектора дорівнює $\sqrt{0^2+1}=1$, що є мінімально можливим значенням довжини даного вектора.

Відповідь:
$x=-5$