Завдання № 8.19. § 8. Додавання і віднімання векторів (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Дано точки $C(6;0)$ і $D(0;-18)$. Знайдіть координати точки $A$ такої, що $\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{DA}=\vec{0}$.

Покроковий розв’язок:

1. Вираження координат векторів через координати їхніх кінців
Нехай точка $A$ має координати $(x;y)$.

Щоб знайти координати вектора, потрібно від координат його кінця відняти координати відповідного початку:

• Для вектора $\overrightarrow{CA}$ початком є точка $C(6;0)$, а кінцем — точка $A(x;y)$: $$\overrightarrow{CA}=(x-6;y-0)=(x-6;y)$$
• Для вектора $\overrightarrow{DA}$ початком є точка $D(0;-18)$, а кінцем — точка $A(x;y)$: $$\overrightarrow{DA}=(x-0;y-(-18))=(x;y+18)$$

2. Додавання векторів і складання системи рівнянь
При додаванні векторів додаються їхні відповідні координати:

За умовою сума векторів дорівнює нульовому вектору $\vec{0}(0;0)$. Оскільки вектор дорівнює нулю тоді й лише тоді, коли всі його координати дорівнюють нулю, отримуємо систему лінійних рівнянь:

3. Знаходження невідомих координат
Розв’яжемо кожне рівняння окремо:

• Для абсциси $x$: $$2x=6⟹x=\frac{6}{2}=3$$
• Для ординати $y$: $$2y=-18⟹y=\frac{-18}{2}=-9$$

Геометричний зміст: рівність $\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{DA}=\vec{0}$ означає, що $\overrightarrow{CA}=-\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{AD}$, тобто вектори $\overrightarrow{CA}$ та $\overrightarrow{DA}$ є протилежними, а отже, точка $A$ є серединою відрізка $CD$. Координати середини відрізка: $x=\frac{6+0}{2}=3$, $y=\frac{0+(-18)}{2}=-9$, що повністю підтверджує отриманий результат.

Отже, шукана точка має координати $(3;-9)$.

Відповідь:
$(3;-9)$