Завдання № 8.16. § 8. Додавання і віднімання векторів (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

Чотирикутник $ABCD$ — паралелограм (мал. 8.14). Доведіть, що $\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{AM}$.

Покроковий розв’язок:

1. Спрощення лівої частини рівності

Застосуємо правило трикутника для послідовного додавання векторів:

Отже, ліва частина рівності дорівнює вектору $\overrightarrow{BC}$.

2. Спрощення правої частини рівності

Скористаємося переставною властивістю додавання векторів та правилом трикутника:

Отже, права частина рівності дорівнює вектору $\overrightarrow{AD}$.

3. Порівняння отриманих результатів

За умовою чотирикутник $ABCD$ — паралелограм. За властивостями паралелограма його протилежні сторони рівні та паралельні:
$BC=AD$ і $BC\parallel AD$.

Оскільки відрізки $BC$ та $AD$ лежать на паралельних прямих, мають однакову довжину ($|\overrightarrow{BC}|=|\overrightarrow{AD}|$) і спрямовані в один бік ($\overrightarrow{BC}\uparrow \uparrow \overrightarrow{AD}$), то ці вектори є рівними:

Оскільки ліва та права частини звелися до рівних векторів, початкова рівність є правильною:

Рівність доведено.

Відповідь:
Рівність доведено.