Завдання № 78. Повторюємо геометрію за 8 клас (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Сторони прямокутника дорівнюють $12\text{ см}$ і $20\text{ см}$. Знайдіть гострий кут між діагоналями прямокутника з точністю до градуса.

Покроковий розв’язок:

1. Геометричні властивості фігури
Нехай $ABCD$ — заданий прямокутник, у якого $AD=20\text{ см}$, а $CD=12\text{ см}$. Точка перетину його діагоналей — $O$.

За властивістю прямокутника:

• Усі кути прямі: $\angle ADC=90^{\circ }$;
• Діагоналі рівні ($AC=BD$) і точкою перетину діляться навпіл:
  $AO=BO=CO=DO$

Отже, трикутник $△COD$ є рівнобедреним з основою $CD$ ($CO=DO$). Оскільки сторона $CD$ менша за сторону $AD$ ($12\text{ см}<20\text{ см}$), кут $\angle COD$, що лежить навпроти меншої сторони, є гострим кутом між діагоналями.

2. Обчислення кута прямокутного трикутника
Розглянемо прямокутний трикутник $△ACD$ ($\angle D=90^{\circ }$).
За означенням тангенса гострого кута:
$\mathrm{tg}\angle ACD=\frac{AD}{CD}=\frac{20}{12}=\frac{5}{3}\approx 1,6667$

Знайдемо градусну міру кута $\angle ACD$ з точністю до градуса:
$\angle ACD\approx 59^{\circ }$

3. Знаходження гострого кута між діагоналями
У рівнобедреному трикутнику $△COD$ кути при основі рівні:
$\angle ODC=\angle OCD=\angle ACD\approx 59^{\circ }$

За теоремою про суму кутів трикутника:

Оскільки $62^{\circ }<90^{\circ }$, отриманий кут дійсно є шуканим гострим кутом між діагоналями прямокутника.

Відповідь:
$62^{\circ }$.