Завдання № 77. Задачі підвищеної складності (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
У конус вписано кулю так, що вона дотикається до основи конуса і його бічної поверхні. Доведіть, що відношення площі повної поверхні конуса до площі поверхні кулі дорівнює відношенню їхніх об’ємів:

\frac{S _{кон}}{S _{кул}} = \frac{V _{кон}}{V _{кул}}

Покроковий розв’язок:

1. Введення позначень та розгляд осьового перерізу
Нехай:

$R$ — радіус основи конуса;
$H$ — висота конуса;
$L$ — твірна конуса;
$r$ — радіус вписаної в конус кулі.

Осьовим перерізом конуса є рівнобедрений трикутник $△ S A B$ , бічні сторони якого дорівнюють твірній $L$ ( $S A = S B = L$ ), основа дорівнює діаметру основи конуса $A B = 2 R$ , а висота, проведена до основи, дорівнює висоті конуса $H$ .

Куля у цьому перерізі утворює вписане в $△ S A B$ коло радіуса $r$ , центр якого $O$ лежить на висоті конуса.

2. Зв’язок між радіусом вписаної кулі та елементами конуса
Знайдемо радіус $r$ вписаного кола за формулою:

r = \frac{S _{△}}{p}

де $S_{△}$ — площа трикутника осьового перерізу, а $p$ — його півпериметр.

Площа рівнобедреного трикутника $△ S A B$ :

S_{△} = \frac{1}{2} \cdot A B \cdot H = \frac{1}{2} \cdot 2 R \cdot H = R \cdot H

Півпериметр трикутника $△ S A B$ :

p = \frac{S A + S B + A B}{2} = \frac{L + L + 2 R}{2} = \frac{2 ( R + L )}{2} = R + L

Підставимо отримані вирази у формулу радіуса:

r = \frac{R \cdot H}{R + L}

Звідси виразимо висоту конуса $H$ :

H = \frac{r \cdot ( R + L )}{R}

3. Знаходження відношення площ поверхонь
Площа повної поверхні конуса складається з площі основи та площі бічної поверхні:

S_{кон} = π \cdot R^{2} + π \cdot R \cdot L = π \cdot R \cdot (R + L)

Площа поверхні сфери (кулі):

S_{кул} = 4 \cdot π \cdot r^{2}

Знайдемо відношення площі повної поверхні конуса до площі поверхні кулі:

\frac{S _{кон}}{S _{кул}} = \frac{π \cdot R \cdot ( R + L )}{4 \cdot π \cdot r ^{2}} = \frac{R \cdot ( R + L )}{4 \cdot r ^{2}}

4. Знаходження відношення об’ємів
Об’єм конуса обчислюється за формулою:

V_{кон} = \frac{1}{3} \cdot π \cdot R^{2} \cdot H

Об’єм кулі дорівнює:

V_{кул} = \frac{4}{3} \cdot π \cdot r^{3}

Знайдемо відношення об’єму конуса до об’єму кулі:

\frac{V _{кон}}{V _{кул}} = \frac{\frac{1}{3} \cdot π \cdot R ^{2} \cdot H}{\frac{4}{3} \cdot π \cdot r ^{3}} = \frac{R ^{2} \cdot H}{4 \cdot r ^{3}}

Підставимо у знайдений вираз раніше отримане значення висоти $H = \frac{r \cdot ( R + L )}{R}$ :

\frac{V _{кон}}{V _{кул}} = \frac{R ^{2} \cdot \frac{r \cdot ( R + L )}{R}}{4 \cdot r ^{3}} = \frac{R \cdot r \cdot ( R + L )}{4 \cdot r ^{3}} = \frac{R \cdot ( R + L )}{4 \cdot r ^{2}}

5. Висновок
Оскільки обидва відношення зводяться до однакового виразу:

\frac{S _{кон}}{S _{кул}} = \frac{R \cdot ( R + L )}{4 \cdot r ^{2}} та \frac{V _{кон}}{V _{кул}} = \frac{R \cdot ( R + L )}{4 \cdot r ^{2}}

отже:

\frac{S _{кон}}{S _{кул}} = \frac{V _{кон}}{V _{кул}}

Відповідь:
Твердження доведено, $\frac{S _{кон}}{S _{кул}} = \frac{V _{кон}}{V _{кул}} = \frac{R \cdot ( R + L )}{4 \cdot r ^{2}}$ .

Завдання № 77. Задачі підвищеної складності (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку