Назад до розділу • Головний зміст
Умова:
Бісектриса прямого кута прямокутного трикутника ділить гіпотенузу на відрізки і . Знайдіть периметр трикутника.
Покроковий розв’язок:
Нехай задано прямокутний трикутник із прямим кутом при вершині (). Відрізок — бісектриса прямого кута, точка лежить на гіпотенузі . За умовою , .
1. Знаходження довжини гіпотенузи
Точка належить відрізку , тому довжина гіпотенузи дорівнює сумі довжин її частин:
2. Застосування властивості бісектриси трикутника
За властивістю бісектриси трикутника відношення прилеглих катетів дорівнює відношенню відрізків, на які бісектриса ділить протилежну сторону:
Звідси сторони пропорційні числам і . Нехай коефіцієнт пропорційності дорівнює (). Тоді довжини катетів:
3. Знаходження невідомого коефіцієнта за теоремою Піфагора
У прямокутному трикутнику за теоремою Піфагора:
Підставимо значення виразів:
(3x)^2 + (4x)^2 &= 70^2 \\ 9x^2 + 16x^2 &= 4900 \\ 25x^2 &= 4900 \\ x^2 &= \dfrac{4900}{25} \\ x^2 &= 196 \\ x &= 14 \end{aligned}$$ **4. Обчислення катетів трикутника** Знайдемо довжини катетів: $$AC = 3 \cdot 14 = 42\text{ см}$$ $$BC = 4 \cdot 14 = 56\text{ см}$$ **5. Обчислення периметра трикутника** Периметр трикутника $\triangle ABC$ дорівнює сумі довжин усіх його сторін: $$P = AC + BC + AB = 42 + 56 + 70 = 168\text{ см}$$ *Відповідь:* $168\text{ см}$