Назад до розділу • Головний зміст
Умова:
Трикутник зі сторонами , і обертається навколо більшої сторони. Обчисліть:
1) об’єм утвореної фігури обертання;
2) площу поверхні утвореної фігури обертання.
Покроковий розв’язок:
При обертанні трикутника навколо його більшої сторони () утворюється тіло обертання, складене з двох конусів, які мають спільну основу.
- Радіус спільної основи конусів дорівнює висоті трикутника , що проведена до сторони .
- Твірні конусів та дорівнюють двом іншим сторонам трикутника: , .
- Сума висот цих двох конусів дорівнює довжині осі обертання: .
1. Знаходження радіуса спільної основи конусів
Обчислимо площу трикутника за формулою Герона. Знайдемо півпериметр:
За формулою Герона площа трикутника дорівнює:
Розкладемо підкореневий вираз на множники:
Також площа трикутника виражається через сторону та проведену до неї висоту:
Підставимо відомі значення:
Отже, радіус основи утворених конусів .
2. Обчислення об’єму фігури обертання
Об’єм утвореного тіла дорівнює сумі об’ємів двох конусів:
Оскільки сума висот конусів дорівнює довжині сторони, навколо якої відбувалося обертання (), маємо:
3. Обчислення площі поверхні фігури обертання
Поверхня утвореного тіла складається з бічних поверхонь двох конусів (спільна основа розташована всередині тіла):
Підставимо значення радіуса та твірних і :
Відповідь:
1) ;
2) .