Завдання № 76. Повторюємо геометрію за 8 клас (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

Бісектриса гострого кута прямокутного трикутника ділить катет на відрізки завдовжки $5\text{ см}$ і $13\text{ см}$. Знайдіть периметр трикутника.

Покроковий розв’язок:

Нехай задано прямокутний трикутник $△ABC$, у якого $\angle C=90^{\circ }$. Проведемо бісектрису гострого кута $A$ — відрізок $AK$, де точка $K$ належить катету $BC$ ($K\in BC$).

1. Визначення довжини катета $BC$

Точка $K$ розбиває катет $BC$ на відрізки $CK$ та $KB$. Оскільки катет $AC$ менший від гіпотенузи $AB$, то й прилеглий до нього відрізок $CK$ має бути меншим за відрізок $KB$. Отже:
$CK=5\text{ см},KB=13\text{ см}$

Довжина всього катета $BC$:
$BC=CK+KB=5+13=18\text{ (см)}$

2. Застосування властивості бісектриси трикутника

За властивістю бісектриси трикутника, бісектриса кута ділить протилежну сторону на частини, пропорційні прилеглим сторонам:
$\frac{AC}{AB}=\frac{CK}{KB}$

Підставимо відомі значення довжин відрізків:
$\frac{AC}{AB}=\frac{5}{13}$

Нехай коефіцієнт пропорційності дорівнює $x$ ($x>0$). Тоді довжини сторін можна виразити як:
$AC=5x\text{ см},AB=13x\text{ см}$

3. Знаходження сторін за теоремою Піфагора

За теоремою Піфагора для прямокутного трикутника $△ABC$:
$A{B}^2=A{C}^2+B{C}^2$

Підставимо виражені сторони у формулу:
$(13x{)}^2=(5x{)}^2+18^2$
$169x^2=25x^2+324$
$169x^2-25x^2=324$
$144x^2=324$
$x^2=\frac{324}{144}=\frac{9}{4}$

Оскільки $x>0$, отримуємо:
$x=\frac{3}{2}=1,5$

Обчислимо довжини невідомих сторін трикутника:
$AC=5\cdot 1,5=7,5\text{ (см)}$
$AB=13\cdot 1,5=19,5\text{ (см)}$

4. Обчислення периметра трикутника

Периметр трикутника дорівнює сумі довжин усіх його сторін:
$P=AC+BC+AB=7,5+18+19,5=45\text{ (см)}$

Відповідь:
$45\text{ см}$.