Завдання № 75. Задачі підвищеної складності (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
У циліндр вписано кулю так, що вона дотикається до основ і бічної поверхні циліндра. Знайдіть відношення:

1) об’єму кулі до об’єму циліндра;

2) площі сфери до площі повної поверхні циліндра.

Покроковий розв’язок:

1. Зв’язок між розмірами циліндра та кулі

Нехай радіус кулі дорівнює $R$.

Оскільки куля вписана в циліндр, вона дотикається до його бічної поверхні вздовж кола великого круга кулі та дотикається до обох основ циліндра. Звідси випливає:

• радіус основи циліндра $r$ дорівнює радіусу кулі: $r=R$;
• висота циліндра $h$ дорівнює діаметру кулі: $h=2R$.

2. Знаходження відношення об’ємів

Об’єм кулі радіуса $R$ обчислюється за формулою:
$V_{\text{к}}=\frac{4}{3}\pi R^3$

Об’єм циліндра дорівнює добутку площі його основи на висоту:
$V_{\text{ц}}=\pi r^2\cdot h=\pi R^2\cdot 2R=2\pi R^3$

Знайдемо відношення об’єму кулі до об’єму циліндра:
$\frac{V_{\text{к}}}{V_{\text{ц}}}=\frac{\frac{4}{3}\pi R^3}{2\pi R^3}=\frac{4}{3}\cdot \frac{1}{2}=\frac{2}{3}$

Отже, відношення об’ємів дорівнює $2:3$.

3. Знаходження відношення площ поверхонь

Площа поверхні сфери радіуса $R$ визначається за формулою:
$S_{\text{сф}}=4\pi R^2$

Площа повної поверхні циліндра складається з площі бічної поверхні та площ двох його основ:
$S_{\text{ц}}=2S_{\text{осн}}+S_{\text{біч}}=2\pi r^2+2\pi r\cdot h$

Підставимо $r=R$ та $h=2R$:
$S_{\text{ц}}=2\pi R^2+2\pi R\cdot 2R=2\pi R^2+4\pi R^2=6\pi R^2$

Знайдемо відношення площі сфери до площі повної поверхні циліндра:
$\frac{S_{\text{сф}}}{S_{\text{ц}}}=\frac{4\pi R^2}{6\pi R^2}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$

Отже, відношення площ також дорівнює $2:3$.

Відповідь:

1) $2:3$;

2) $2:3$.