Завдання № 75. Повторюємо геометрію за 8 клас (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

Розв’яжіть прямокутний трикутник $ABC$, у якого $\angle C=90^{\circ }$ (невідому сторону знайдіть з точністю до сотих сантиметра, кути — з точністю до градусів) за двома сторонами:

1) $BC=5\text{ см}$, $AB=9\text{ см}$;

2) $BC=7\text{ см}$, $AC=2\text{ см}$.

Покроковий розв’язок:

1. Розв’язування за катетом $BC=5\text{ см}$ і гіпотенузою $AB=9\text{ см}$

Оскільки $\angle C=90^{\circ }$, сторона $AB$ є гіпотенузою, а сторони $BC$ і $AC$ — катетами прямокутного трикутника $△ABC$.

1) За теоремою Піфагора ($A{B}^2=A{C}^2+B{C}^2$) знайдемо невідомий катет $AC$:
$AC=\sqrt{A{B}^2-B{C}^2}=\sqrt{9^2-5^2}=\sqrt{81-25}=\sqrt{56}=2\sqrt{14}\text{ см}$
Обчислимо наближене значення з точністю до сотих:
$AC\approx 7,48\text{ см}$

2) Знайдемо гострий кут $A$. За означенням синуса гострого кута прямокутного трикутника:
$\sin \angle A=\frac{BC}{AB}=\frac{5}{9}\approx 0,5556$
Звідси знаходимо градусну міру кута $A$ з точністю до градусів:
$\angle A\approx 34^{\circ }$

3) Сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює $90^{\circ }$, тому кут $B$ дорівнює:
$\angle B=90^{\circ }-\angle A\approx 90^{\circ }-34^{\circ }=56^{\circ }$

2. Розв’язування за двома катетами $BC=7\text{ см}$ і $AC=2\text{ см}$

1) За теоремою Піфагора знайдемо невідому гіпотенузу $AB$:
$AB=\sqrt{A{C}^2+B{C}^2}=\sqrt{2^2+7^2}=\sqrt{4+49}=\sqrt{53}\text{ см}$
Обчислимо наближене значення з точністю до сотих:
$AB\approx 7,28\text{ см}$

2) Знайдемо гострий кут $A$. За означенням тангенса гострого кута прямокутного трикутника:
$\mathrm{tg}\angle A=\frac{BC}{AC}=\frac{7}{2}=3,5$
Звідси визначаємо значення кута $A$ з точністю до градусів:
$\angle A\approx 74^{\circ }$

3) Знайдемо гострий кут $B$ за властивістю гострих кутів прямокутного трикутника:
$\angle B=90^{\circ }-\angle A\approx 90^{\circ }-74^{\circ }=16^{\circ }$

Відповідь:

1) $AC\approx 7,48\text{ см}$, $\angle A\approx 34^{\circ }$, $\angle B\approx 56^{\circ }$;

2) $AB\approx 7,28\text{ см}$, $\angle A\approx 74^{\circ }$, $\angle B\approx 16^{\circ }$.