Завдання № 74. Задачі підвищеної складності (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Із кругового сектора з радіусом $6\text{ см}$ і градусною мірою дуги $120^{\circ }$ виготовили конус. Знайдіть:

1) площу бічної поверхні конуса;

2) об’єм конуса.

Покроковий розв’язок:

При згортанні кругового сектора в бічну поверхню конуса:
— радіус сектора $R$ стає твірною конуса $l$, тобто $l=R=6\text{ см}$;
— дуга сектора згортається в коло, що є основою конуса, отже, довжина дуги сектора дорівнює довжині кола основи.

1. Зв’язок елементів сектора та конуса, радіус основи

Обчислимо довжину дуги $L$ кругового сектора за формулою довжини дуги кола:

Підставимо значення $R=6\text{ см}$ та $\alpha =120^{\circ }$:

Довжина кола основи конуса виражається формулою $C=2\pi r$, де $r$ — радіус основи конуса. Оскільки $C=L$:

2. Знаходження площі бічної поверхні конуса

Площу бічної поверхні конуса обчислюємо за формулою:

Підставимо знайдені значення $r=2\text{ см}$ та $l=6\text{ см}$:

(Зауважимо: площа бічної поверхні конуса також дорівнює площі самого розгорнутого сектора: $S_{\text{сект}}=\frac{\pi \cdot R^2\cdot \alpha }{360^{\circ }}=\frac{\pi \cdot 36\cdot 120^{\circ }}{360^{\circ }}=12\pi {\text{ см}}^2$).

3. Знаходження висоти та об’єму конуса

Осьовий переріз конуса містить прямокутний трикутник, утворений висотою конуса $h$, радіусом основи $r$ та твірною $l$. За теоремою Піфагора:

Підставимо відомі величини:

Об’єм конуса обчислюється за формулою:

Підставимо значення $r=2\text{ см}$ та $h=4\sqrt{2}\text{ см}$:

Відповідь:

1) $12\pi {\text{ см}}^2$;

2) $\frac{16\sqrt{2}}{3}\pi {\text{ см}}^3$.