Завдання № 74. Вправи для повторення розділу 1 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Складіть рівняння прямої, що містить висоту $AH$ трикутника з вершинами в точках $A(0;3)$, $B(1;-3)$, $C(4;-9)$.

Покроковий розв’язок:

Висота трикутника $AH$ опущена з вершини $A$ на сторону $BC$, отже, пряма $AH$ перпендикулярна до прямої $BC$ ($AH\perp BC$).

1. Знаходження кутового коефіцієнта прямої $BC$
Пряма проходить через точки $B(x_1;y_1)=(1;-3)$ та $C(x_2;y_2)=(4;-9)$.
Кутовий коефіцієнт $k_{BC}$ прямої, що проходить через дві задані точки, обчислюється за формулою:
$k_{BC}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

Підставимо координати точок $B$ і $C$:
$k_{BC}=\frac{-9-(-3)}{4-1}=\frac{-9+3}{3}=\frac{-6}{3}=-2$

2. Знаходження кутового коефіцієнта прямої $AH$
За умовою перпендикулярності двох прямих, добуток їхніх кутових коефіцієнтів дорівнює $-1$:
$k_{AH}\cdot k_{BC}=-1$

Звідси знайдемо кутовий коефіцієнт $k_{AH}$:
$k_{AH}=-\frac{1}{k_{BC}}=-\frac{1}{-2}=\frac{1}{2}$

3. Складання рівняння прямої $AH$
Пряма $AH$ має кутовий коефіцієнт $k_{AH}=\frac{1}{2}$ і проходить через точку $A(0;3)$.
Запишемо рівняння прямої за точкою та кутовим коефіцієнтом у вигляді $y-y_0=k(x-x_0)$:
$y-3=\frac{1}{2}(x-0)$
$y-3=\frac{1}{2}x$

Помножимо обидві частини рівняння на $2$, щоб позбутися дробу:
$2(y-3)=x$
$2y-6=x$

Перенесемо всі доданки в одну сторону для запису загального рівняння прямої виду $Ax+By+C=0$:
$x-2y+6=0$

Відповідь:
$x-2y+6=0$ (або $y=\frac{1}{2}x+3$).